三、计算题(本大题共5个小题,每小题6分,共-|||-30分)-|||-1.已知连续型随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) 2x,xin (0,A) 0,

步骤 1：求解A
根据连续型随机变量的性质，概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1
$$
由于f(x)在(0,A)区间内为2x，在其他区间内为0，因此积分可以简化为：
$$
\int_{0}^{A} 2x \, dx = 1
$$
计算积分：
$$
\left[ x^2 \right]_{0}^{A} = 1
$$
$$
A^2 - 0 = 1
$$
$$
A^2 = 1
$$
由于A是定义域的上限，因此A应为正数，所以A=1。

步骤 2：求解X的分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
根据f(x)的定义，我们可以分段求解F(x)：
- 当x<0时，f(x)=0，因此F(x)=0。
- 当0≤x≤1时，f(x)=2x，因此：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_{0}^{x} = x^2
$$
- 当x>1时，f(x)=0，因此F(x)=1（因为X的概率密度函数在(0,1)区间内积分为1）。

步骤 3：求解$P\{ -0.5\lt X\lt 1\}$
根据分布函数的性质，我们可以计算：
$$
P\{ -0.5\lt X\lt 1\} = F(1) - F(-0.5)
$$
根据步骤2中求得的分布函数F(x)：
$$
F(1) = 1^2 = 1
$$
$$
F(-0.5) = 0
$$
因此：
$$
P\{ -0.5\lt X\lt 1\} = 1 - 0 = 1
$$