题目
(单选题,3分) 极限lim_(xto0)((sin x)/(x)-xsin(1)/(x))=() A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在
(单选题,3分) 极限$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}-x\sin\frac{1}{x}\right)=\left(\right)$
A. -1
B. 0
C. 1
D. 不存在
A. -1
B. 0
C. 1
D. 不存在
题目解答
答案
将原极限分解为两部分：
\[
\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} - x \sin \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} - \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}
\]
第一部分，由经典极限公式得：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]
第二部分，由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内有界，且 $x \to 0$ 时 $x$ 趋于 0，故：
\[
\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0
\]
（可由夹逼定理证明：$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$，当 $x \to 0$ 时，两边均趋于 0。）
综上，原极限为：
\[
1 - 0 = 1
\]
因此，正确答案是 $\boxed{C}$。
解析
考查要点：本题主要考查极限的运算性质，特别是分段求极限的方法，以及夹逼定理的应用。
解题核心思路：
将原极限拆分为两个部分分别计算，利用经典极限公式处理第一部分，通过有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小的性质处理第二部分。
破题关键点：
- 拆分极限：确认两部分极限均存在，才能分开计算。
- 第二部分极限：虽然$\sin \frac{1}{x}$在$x \to 0$时振荡无极限，但乘以$x$后整体趋于0。
将原极限分解为两部分：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} - x \sin \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} - \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$
第一部分：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
根据经典极限公式，当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
第二部分：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$
虽然$\sin \frac{1}{x}$在$x \to 0$时振荡无极限，但$\sin \frac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，即有界。
根据夹逼定理：
$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$
当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，因此：
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$
综合结果
原极限为两部分之差：
$1 - 0 = 1$