题目
7.设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n.则下列四个结论: ①r(ABC)+n=r(AB)+r(C); ②r(AB)+n=r(A)+r(B); ③r(A)=r(B)=r(C)=n; ④r(AB)=r(BC)=n. 其中正确结论的序号是 A.①②. B.①③. C.②④. D.③④.
7.设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n.则下列四个结论: ①r(ABC)+n=r(AB)+r(C); ②r(AB)+n=r(A)+r(B); ③r(A)=r(B)=r(C)=n; ④r(AB)=r(BC)=n. 其中正确结论的序号是
A.①②.
B.①③.
C.②④.
D.③④.
A.①②.
B.①③.
C.②④.
D.③④.
题目解答
答案
由条件 $ r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n $，分析各结论：
1. **结论①**：
代入得 $ r(ABC) = r(A) + r(B) + r(C) - 2n $，
化简得 $ r(AB) = r(A) + r(B) - n $，
当 $ r(A) = r(B) = r(C) = n $ 时成立。
2. **结论②**：
与①矛盾，不恒成立。
3. **结论③**：
代入得 $ r(ABC) = n $，满足条件。
4. **结论④**：
当 $ r(A) = r(B) = r(C) = n $ 时，$ r(AB) = r(BC) = n $ 成立。
**答案：**
\[
\boxed{D}
\]