已知粒子在宽度为2a的一维无限深势阱中运动-|||-,其波函数为:-|||-Phi (x)=sqrt (dfrac {1)(a)sin dfrac (3pi x)(2a)}(-aleqslant xleqslant a)-|||-则粒子在 =dfrac (a)(6) 处出现的概率密度为-|||-A. dfrac (1)(2a)-|||-B. dfrac (1)(a)-|||-C.dfrac (1)(sqrt {2a)}-|||-D. dfrac (1)(sqrt {a)}

考查要点：本题主要考查一维无限深势阱中粒子的概率密度计算，需要掌握波函数的模平方即为概率密度这一核心概念。

解题思路：

1. 概率密度定义：概率密度 $\rho(x)$ 是波函数 $\Phi(x)$ 的模平方，即 $\rho(x) = |\Phi(x)|^2$。
2. 代入具体位置：将 $x = \dfrac{a}{6}$ 代入波函数表达式，计算对应的概率密度值。
3. 三角函数化简：正确计算 $\sin\left(\dfrac{3\pi x}{2a}\right)$ 在 $x = \dfrac{a}{6}$ 处的值。

破题关键：

• 正确展开波函数的平方，注意系数 $\sqrt{\dfrac{1}{a}}$ 和三角函数部分的平方关系。
• 化简角度时注意约分，避免计算错误。

已知波函数为 $\Phi(x) = \sqrt{\dfrac{1}{a}} \sin\left(\dfrac{3\pi x}{2a}\right)$，概率密度为：
$\rho(x) = |\Phi(x)|^2 = \dfrac{1}{a} \sin^2\left(\dfrac{3\pi x}{2a}\right)$

代入 $x = \dfrac{a}{6}$：

1. 计算角度：
   $\dfrac{3\pi \cdot \dfrac{a}{6}}{2a} = \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4}$
2. 求 $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$：
   $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. 代入概率密度公式：
   $\rho\left(\dfrac{a}{6}\right) = \dfrac{1}{a} \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2a}$