题目
1.求由曲线 ) (x)^2-2z=0 y=0 . 绕z轴旋转而成的曲面与平面 z=2 =8 所围成的介于此二-|||-平面之间的立体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转曲面的方程
曲线 $\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}-2z=0\\ y=0\end{matrix} \right.$ 绕z轴旋转而成的曲面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}-2z=0$，即 $z=\dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$。
步骤 2：确定积分区域
曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 所围成的立体的体积，积分区域为 $2\leq z\leq 8$。
步骤 3：计算体积
体积 $V$ 可以通过积分计算得到，积分区域为 $2\leq z\leq 8$，积分函数为 $\pi r^2$，其中 $r^2 = 2z$。因此，体积 $V$ 为：
$$V = \int_{2}^{8} \pi \cdot 2z \, dz$$
步骤 4：计算积分
$$V = 2\pi \int_{2}^{8} z \, dz = 2\pi \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{2}^{8} = 2\pi \left( \frac{64}{2} - \frac{4}{2} \right) = 2\pi \cdot 30 = 60\pi$$
曲线 $\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}-2z=0\\ y=0\end{matrix} \right.$ 绕z轴旋转而成的曲面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}-2z=0$，即 $z=\dfrac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$。
步骤 2：确定积分区域
曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 所围成的立体的体积，积分区域为 $2\leq z\leq 8$。
步骤 3：计算体积
体积 $V$ 可以通过积分计算得到，积分区域为 $2\leq z\leq 8$，积分函数为 $\pi r^2$，其中 $r^2 = 2z$。因此，体积 $V$ 为：
$$V = \int_{2}^{8} \pi \cdot 2z \, dz$$
步骤 4：计算积分
$$V = 2\pi \int_{2}^{8} z \, dz = 2\pi \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{2}^{8} = 2\pi \left( \frac{64}{2} - \frac{4}{2} \right) = 2\pi \cdot 30 = 60\pi$$