题目
1.化三重积分 =iint f(x,y,z)dxdydz 为三次积分,其中积分区域Ω分别是-|||-(3)由曲面 =(x)^2+2(y)^2 及 =2-(x)^2 所围成的闭区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域Ω的边界
两曲面的交线为 $\left \{ \begin{matrix} z={x}^{2}+2{y}^{2}\\ z=2-{x}^{2},\end{matrix} \right.$ 消去z,得 ${x}^{2}+2{y}^{2}=2-{x}^{2}$ 即 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$. 所以Ω在xOy面的投影区域为 $z=2-{x}^{2}\\ {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ (图 9- Ω: $\left \{ \begin{matrix} -1\leqslant x\leqslant 1,\\ -\sqrt {1-{x}^{2}}\leqslant y\leqslant \sqrt {1-{x}^{2}},\\ {x}^{2}+2{y}^{2}\leqslant z\leqslant 2-{x}^{2}.\end{matrix} \right.$ $43)$, 且 ${x}^{2}+2{y}^{2}\leqslant 2-{x}^{2}$ 故 $I={\int }_{-1}^{1}$ dx ${\int }_{-\sqrt {1-{x}^{2}}}^{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ dy f^(x^2) ${x}^{2}+2{y}^{2}$ f(x,y,z)dz.
步骤 2：确定积分的上下限
根据步骤1中确定的积分区域Ω，可以确定积分的上下限。对于x的积分范围是[-1, 1]，对于y的积分范围是[-√(1-x^2), √(1-x^2)]，对于z的积分范围是[x^2+2y^2, 2-x^2]。
步骤 3：写出三次积分表达式
根据步骤2中确定的积分上下限，可以写出三次积分表达式。即 $I={\int }_{-1}^{1}dx\int \dfrac {\sqrt {1-{x}^{2}}}{\sqrt {1-{x}^{2}}}}dy{\int }_{{x}^{2}}^{1}{y}^{2}f(x,y,z)dz$ 。
两曲面的交线为 $\left \{ \begin{matrix} z={x}^{2}+2{y}^{2}\\ z=2-{x}^{2},\end{matrix} \right.$ 消去z,得 ${x}^{2}+2{y}^{2}=2-{x}^{2}$ 即 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$. 所以Ω在xOy面的投影区域为 $z=2-{x}^{2}\\ {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ (图 9- Ω: $\left \{ \begin{matrix} -1\leqslant x\leqslant 1,\\ -\sqrt {1-{x}^{2}}\leqslant y\leqslant \sqrt {1-{x}^{2}},\\ {x}^{2}+2{y}^{2}\leqslant z\leqslant 2-{x}^{2}.\end{matrix} \right.$ $43)$, 且 ${x}^{2}+2{y}^{2}\leqslant 2-{x}^{2}$ 故 $I={\int }_{-1}^{1}$ dx ${\int }_{-\sqrt {1-{x}^{2}}}^{\sqrt {1-{x}^{2}}}$ dy f^(x^2) ${x}^{2}+2{y}^{2}$ f(x,y,z)dz.
步骤 2：确定积分的上下限
根据步骤1中确定的积分区域Ω，可以确定积分的上下限。对于x的积分范围是[-1, 1]，对于y的积分范围是[-√(1-x^2), √(1-x^2)]，对于z的积分范围是[x^2+2y^2, 2-x^2]。
步骤 3：写出三次积分表达式
根据步骤2中确定的积分上下限，可以写出三次积分表达式。即 $I={\int }_{-1}^{1}dx\int \dfrac {\sqrt {1-{x}^{2}}}{\sqrt {1-{x}^{2}}}}dy{\int }_{{x}^{2}}^{1}{y}^{2}f(x,y,z)dz$ 。