6.讨论下列函数的连续性:-|||-(1) (x,y)=dfrac ({x)^2-(y)^2}({x)^2+(y)^2}-|||-(2) (x,y)=dfrac (x-y)(x+y);-|||-(3) (x,y)= ^2+{y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0 0,(x)^2+(y)^2=0 .

步骤 1：分析函数 (1) 的连续性
函数 $f(x,y)=\dfrac {{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 在点 (0,0) 处没有定义，因为分母为零。因此，函数在点 (0,0) 处不连续。

步骤 2：分析函数 (2) 的连续性
函数 $f(x,y)=\dfrac {x-y}{x+y}$ 在直线 $x+y=0$ 上没有定义，因为分母为零。因此，函数在直线 $x+y=0$ 上不连续。

步骤 3：分析函数 (3) 的连续性
函数 $f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}},{x}^{2}+{y}^{2}\neq 0,\\ 0,{x}^{2}+{y}^{2}=0;\end{matrix} \right.$ 在点 (0,0) 处定义为 0。为了判断函数在点 (0,0) 处是否连续，需要计算极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$。通过极坐标变换，令 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，则有 $\lim_{r\to0}\dfrac {r^2\cos\theta\sin\theta}{r}=\lim_{r\to0}r\cos\theta\sin\theta=0$。因此，函数在点 (0,0) 处连续。

步骤 4：分析函数 (4) 的连续性
函数 $f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {\sin (xy)}{{x}^{2}+{y}^{2}},{x}^{2}+{y}^{2}\neq 0,\\ 0,{x}^{2}+{y}^{2}=0.\end{matrix} \right.$ 在点 (0,0) 处定义为 0。为了判断函数在点 (0,0) 处是否连续，需要计算极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac {\sin (xy)}{{x}^{2}+{y}^{2}}$。通过极坐标变换，令 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，则有 $\lim_{r\to0}\dfrac {\sin (r^2\cos\theta\sin\theta)}{r^2}=\lim_{r\to0}\dfrac {\sin (r^2\cos\theta\sin\theta)}{r^2\cos\theta\sin\theta}\cdot\dfrac {r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2}=\lim_{r\to0}\dfrac {\sin (r^2\cos\theta\sin\theta)}{r^2\cos\theta\sin\theta}\cdot\cos\theta\sin\theta=1\cdot\cos\theta\sin\theta=\cos\theta\sin\theta$。由于 $\cos\theta\sin\theta$ 不是常数，因此函数在点 (0,0) 处不连续。