题目
设f(x),g(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>g'(x)，则在[a,b]上有( ).A.f(x)-g(x)>0; B.f(x)-g(x)≥0;C.f(x)-g(x)>f(b)-g(b); D.f(x)-g(x)>f(a)-g(a).
设f(x),g(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>g'(x)，则在[a,b]上有( ).
A.f(x)-g(x)>0; B.f(x)-g(x)≥0;
C.f(x)-g(x)>f(b)-g(b); D.f(x)-g(x)>f(a)-g(a).
题目解答
答案
解：设
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由f(x),g(x)在区间[a,b]上可导，则F(x)在[a,b]上单调增加
即
f\left(a\right)-g\left(a\right)" data-width="247" data-height="26" data-size="3769" data-format="png" style="max-width:100%">
故本题选D选项。
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数$F(x) = f(x) - g(x)$，则$F'(x) = f'(x) - g'(x)$。
步骤 2：分析辅助函数的导数
由于$f'(x) > g'(x)$，则$F'(x) = f'(x) - g'(x) > 0$，说明$F(x)$在区间$[a,b]$上是单调递增的。
步骤 3：分析辅助函数的单调性
由于$F(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，所以对于任意$x \in [a,b]$，有$F(x) > F(a)$，即$f(x) - g(x) > f(a) - g(a)$。
定义辅助函数$F(x) = f(x) - g(x)$，则$F'(x) = f'(x) - g'(x)$。
步骤 2：分析辅助函数的导数
由于$f'(x) > g'(x)$，则$F'(x) = f'(x) - g'(x) > 0$，说明$F(x)$在区间$[a,b]$上是单调递增的。
步骤 3：分析辅助函数的单调性
由于$F(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，所以对于任意$x \in [a,b]$，有$F(x) > F(a)$，即$f(x) - g(x) > f(a) - g(a)$。