求极限lim _(xarrow {0)^+}((dfrac {1)(x))}^tan x=

考查要点：本题主要考查指数函数与三角函数的复合极限，需要利用自然对数与指数的转换，结合等价无穷小替换或洛必达法则求解。

解题核心思路：
将原式转化为自然指数形式，利用$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$的等价无穷小关系，简化计算。

破题关键点：

1. 指数化处理：将$a^b$写成$e^{b \ln a}$，便于处理复合函数的极限。
2. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\tan x \sim x$，简化极限表达式。

原式：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \right)^{\tan x}$

步骤分解：

1. 取自然对数简化表达式

设原式为$y = \left( \frac{1}{x} \right)^{\tan x}$，则：
$\ln y = \tan x \cdot \ln \left( \frac{1}{x} \right) = -\tan x \cdot \ln x$

2. 求极限$\lim_{x \to 0} \ln y$

当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，而$\tan x \sim x \to 0$，因此极限形式为$0 \cdot (-\infty)$，需变形为分式：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{\frac{1}{\tan x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x \cdot \sin x}{\cos x}$

3. 应用等价无穷小替换

当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，$\cos x \to 1$，代入得：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x \cdot x}{1} = \lim_{x \to 0^+} (-x \ln x)$

4. 计算最终极限

利用$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$（可通过变量代换或洛必达法则证明），得：
$\ln y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = e^0 = 1$