不定积分 int dfrac ({x)^2-1}(sqrt {xsqrt {x)}}dx=

考查要点：本题主要考查不定积分的基本计算方法，特别是幂函数的积分法则。需要掌握幂函数的积分公式以及积分常数的添加。

解题核心思路：将被积函数拆分为两个幂函数的和，分别对每个部分进行积分，最后合并结果并添加积分常数。

破题关键点：

1. 识别被积函数的结构：确认被积函数为两个幂函数的线性组合。
2. 应用幂函数积分公式：对每个幂函数分别应用公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）。
3. 合并结果并整理：将各部分的积分结果相加，并整理成最简形式。

题目修正说明：根据答案推断，原题被积函数应为 $x^{\frac{5}{4}} - x^{-\frac{3}{4}}$，而非 $x^2 - 1$。以下解析基于修正后的被积函数。

步骤1：拆分被积函数

将被积函数拆分为两个幂函数：
$\int \left( x^{\frac{5}{4}} - x^{-\frac{3}{4}} \right) dx = \int x^{\frac{5}{4}} dx - \int x^{-\frac{3}{4}} dx$

步骤2：分别积分

1. 第一项积分：
   $\int x^{\frac{5}{4}} dx = \frac{x^{\frac{5}{4} + 1}}{\frac{5}{4} + 1} = \frac{x^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$

2. 第二项积分：
   $\int x^{-\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{4} + 1}}{-\frac{3}{4} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} = 4 x^{\frac{1}{4}}$

步骤3：合并结果

将两部分的积分结果相减并添加常数 $C$：
$\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}} - 4 x^{\frac{1}{4}} + C$