题目
过点P（1，0）作抛物线y=sqrt(x-2)的切线，求该切线与抛物线y=sqrt(x-2)及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．
过点P（1，0）作抛物线y=$\sqrt{x-2}$的切线，求该切线与抛物线y=$\sqrt{x-2}$及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．
题目解答
答案
解：设切点坐标为（x0，y0）则${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$
y=$\sqrt{x-2}$
$y′=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$
则切线方程为：$y-{y}_{0}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}（x-{x}_{0}）$
且切线通过点P（1，0）
∴代入上面方程，解得：x0=3
切点坐标为（3，1）
切线方程：$y=\frac{1}{2}（x-1）$
切线与抛物线及x轴旋转一周所成旋转体的体积
$V={∫π}_{1}^{3}[\frac{1}{2}（x-1）]^{2}dx$-$π{∫}_{2}^{3}（\sqrt{x-2}）^{2}dx$
=$\frac{π}{12}（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}）^{3}{|}_{1}^{3}$-$π\frac{（x-2）^{2}}{2}{|}_{2}^{3}$
=$\frac{π}{6}$
故答案为$\frac{π}{6}$
y=$\sqrt{x-2}$
$y′=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$
则切线方程为：$y-{y}_{0}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}（x-{x}_{0}）$
且切线通过点P（1，0）
∴代入上面方程，解得：x0=3
切点坐标为（3，1）
切线方程：$y=\frac{1}{2}（x-1）$
切线与抛物线及x轴旋转一周所成旋转体的体积
$V={∫π}_{1}^{3}[\frac{1}{2}（x-1）]^{2}dx$-$π{∫}_{2}^{3}（\sqrt{x-2}）^{2}dx$
=$\frac{π}{12}（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}）^{3}{|}_{1}^{3}$-$π\frac{（x-2）^{2}}{2}{|}_{2}^{3}$
=$\frac{π}{6}$
故答案为$\frac{π}{6}$
解析
步骤 1：确定切点坐标
设切点坐标为（x_0，y_0），则有${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$。由于切线通过点P（1，0），我们需要找到满足条件的切点坐标。
步骤 2：求导数
对抛物线y=$\sqrt{x-2}$求导，得到$y′=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$。这是切线斜率的表达式。
步骤 3：建立切线方程
根据导数，切线方程为$y-{y}_{0}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}（x-{x}_{0}）$。由于切线通过点P（1，0），代入点P的坐标，解得x_0=3，从而得到切点坐标为（3，1）。
步骤 4：求切线方程
将切点坐标代入切线方程，得到切线方程为$y=\frac{1}{2}（x-1）$。
步骤 5：计算旋转体体积
切线与抛物线及x轴旋转一周所成旋转体的体积为$V={∫π}_{1}^{3}[\frac{1}{2}（x-1）]^{2}dx$-$π{∫}_{2}^{3}（\sqrt{x-2}）^{2}dx$。计算积分，得到$V=\frac{π}{12}（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}）^{3}{|}_{1}^{3}$-$π\frac{（x-2）^{2}}{2}{|}_{2}^{3}$=$\frac{π}{6}$。
设切点坐标为（x_0，y_0），则有${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$。由于切线通过点P（1，0），我们需要找到满足条件的切点坐标。
步骤 2：求导数
对抛物线y=$\sqrt{x-2}$求导，得到$y′=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$。这是切线斜率的表达式。
步骤 3：建立切线方程
根据导数，切线方程为$y-{y}_{0}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}（x-{x}_{0}）$。由于切线通过点P（1，0），代入点P的坐标，解得x_0=3，从而得到切点坐标为（3，1）。
步骤 4：求切线方程
将切点坐标代入切线方程，得到切线方程为$y=\frac{1}{2}（x-1）$。
步骤 5：计算旋转体体积
切线与抛物线及x轴旋转一周所成旋转体的体积为$V={∫π}_{1}^{3}[\frac{1}{2}（x-1）]^{2}dx$-$π{∫}_{2}^{3}（\sqrt{x-2}）^{2}dx$。计算积分，得到$V=\frac{π}{12}（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}）^{3}{|}_{1}^{3}$-$π\frac{（x-2）^{2}}{2}{|}_{2}^{3}$=$\frac{π}{6}$。