4 若微分方程 y'' + ay' + by = 0 的解在 ( - ∞ , + ∞ ) 上有界，则A. a 0.B. a > 0 , b > 0.C. a = 0 , b > 0.D. a = 0 , b

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的求解以及解的有界性判断。解题思路是先求出给定微分方程的特征方程，然后根据特征根的不同情况分析方程解的形式，进而判断解在$( - \infty, + \infty )$上有界时$a$、$b$需满足的条件。

对于二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + ay' + by = 0$，其特征方程为$r^{2}+ar + b = 0$。根据一元二次方程求根公式$r=\frac{-a\pm\sqrt{a^{2}-4b}}{2}$，分以下三种情况讨论：

1. 当$\Delta = a^{2}-4b\gt0$时：
   特征方程有两个不相等的实根$r_1=\frac{-a + \sqrt{a^{2}-4b}}{2}$，$r_2=\frac{-a - \sqrt{a^{2}-4b}}{2}$。
   此时微分方程的通解为$y = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$，其中$C_1$、$C_2$为任意常数。
   若$r_1\gt0$或$r_2\gt0$，当$x\to +\infty$时，$e^{r_1x}\to +\infty$或$e^{r_2x}\to +\infty$，解无界；若$r_1\lt0$且$r_2\lt0$，当$x\to -\infty$时，$e^{r_1x}\to +\infty$且$e^{r_2x}\to +\infty$，解也无界。所以这种情况下解在$( - \infty, + \infty )$上无界。
2. 当$\Delta = a^{2}-4b = 0$时：
   特征方程有两个相等的实根$r_1 = r_2 = -\frac{a}{2}$。
   此时微分方程的通解为$y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x}$。
   若$r_1\gt0$，当$x\to +\infty$时，$(C_1 + C_2x)e^{r_1x}\to +\infty$，解无界；若$r_1\lt0$，当$x\to -\infty$时，$(C_1 + C_2x)e^{r_1x}\to +\infty$，解也无界。所以这种情况下解在$( - \infty, + \infty )$上无界。
3. 当$\Delta = a^{2}-4b\lt0$时：
   特征方程有一对共轭复根$r_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{4b - a^{2}}i}{2}$。
   此时微分方程的通解为$y = e^{-\frac{a}{2}x}(C_1\cos\frac{\sqrt{4b - a^{2}}}{2}x + C_2\sin\frac{\sqrt{4b - a^{2}}}{2}x)$。
   因为$\vert\cos\frac{\sqrt{4b - a^{2}}}{2}x\vert\leqslant1$，$\vert\sin\frac{\sqrt{4b - a^{2}}}{2}x\vert\leqslant1$，要使解在$( - \infty, + \infty )$上有界，则$e^{-\frac{a}{2}x}$在$( - \infty, + \infty )$上有界。
   当$a = 0$时，$e^{-\frac{a}{2}x}=e^0 = 1$，此时$y = C_1\cos\sqrt{b}x + C_2\sin\sqrt{b}x$，由于$\vert\cos\sqrt{b}x\vert\leqslant1$，$\vert\sin\sqrt{b}x\vert\leqslant1$，所以$y$在$( - \infty, + \infty )$上有界，同时$b\gt0$才能保证$\sqrt{b}$为实数。

综上，当$a = 0$，$b\gt0$时，微分方程$y'' + ay' + by = 0$的解在$( - \infty, + \infty )$上有界。