函数f(x,y)=x^2+y^3-2xy-10x+9y+5的极小值为

为了找到函数 $ f(x, y) = x^2 + y^3 - 2xy - 10x + 9y + 5 $ 的极小值，我们需要遵循以下步骤： 1. **找到偏导数并设为零以找到临界点。** 2. **使用二阶导数测试确定临界点的性质。** ### 第1步：找到偏导数 函数 $ f(x, y) $ 关于 $ x $ 的偏导数为： \[ f_x = 2x - 2y - 10 \] 函数 $ f(x, y) $ 关于 $ y $ 的偏导数为： \[ f_y = 3y^2 - 2x + 9 \] 将两个偏导数设为零，我们得到方程组： \[ 2x - 2y - 10 = 0 \] \[ 3y^2 - 2x + 9 = 0 \] 从第一个方程中，我们可以解出 $ x $： \[ x = y + 5 \] 将 $ x = y + 5 $ 代入第二个方程： \[ 3y^2 - 2(y + 5) + 9 = 0 \] \[ 3y^2 - 2y - 10 + 9 = 0 \] \[ 3y^2 - 2y - 1 = 0 \] 我们使用二次公式 $ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ 来解这个二次方程，其中 $ a = 3 $， $ b = -2 $，和 $ c = -1 $： \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ y = \frac{2 \pm 4}{6} \] \[ y = 1 \quad \text{或} \quad y = -\frac{1}{3} \] 对于 $ y = 1 $，将 $ y $ 代回 $ x = y + 5 $： \[ x = 1 + 5 = 6 \] 对于 $ y = -\frac{1}{3} $，将 $ y $ 代回 $ x = y + 5 $： \[ x = -\frac{1}{3} + 5 = \frac{14}{3} \] 因此，临界点为 $ (6, 1) $ 和 $ \left( \frac{14}{3}, -\frac{1}{3} \right) $。 ### 第2步：使用二阶导数测试 我们需要计算二阶偏导数： \[ f_{xx} = 2 \] \[ f_{yy} = 6y \] \[ f_{xy} = -2 \] 二阶导数测试的判别式 $ D $ 由下式给出： \[ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 \] #### 在 $ (6, 1) $ 处： \[ f_{yy} = 6 \cdot 1 = 6 \] \[ D = 2 \cdot 6 - (-2)^2 = 12 - 4 = 8 \] 由于 $ D > 0 $ 和 $ f_{xx} > 0 $，点 $ (6, 1) $ 是局部极小值。 #### 在 $ \left( \frac{14}{3}, -\frac{1}{3} \right) $ 处： \[ f_{yy} = 6 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -2 \] \[ D = 2 \cdot (-2) - (-2)^2 = -4 - 4 = -8 \] 由于 $ D < 0 $，点 $ \left( \frac{14}{3}, -\frac{1}{3} \right) $ 是鞍点。 ### 第3步：在局部极小值处找到函数的值 在 $ (6, 1) $ 处计算 $ f(x, y) $： \[ f(6, 1) = 6^2 + 1^3 - 2 \cdot 6 \cdot 1 - 10 \cdot 6 + 9 \cdot 1 + 5 \] \[ f(6, 1) = 36 + 1 - 12 - 60 + 9 + 5 \] \[ f(6, 1) = -21 \] 因此，函数的极小值为 $\boxed{-21}$。