题目
函数 y = y(x) 由方程 arctan (y)/(x) = ln sqrt(x^2 + y^2) 所确定，求 (dy)/(dx).
函数 $y = y(x)$ 由方程 $\arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$ 所确定，求 $\frac{dy}{dx}$.
题目解答
答案
我们来解这道题：
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### **题目：**
函数 $ y = y(x) $ 由方程
$$
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \ln \sqrt{x^2 + y^2}
$$
所确定，求导数 $ \frac{dy}{dx} $。
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### **解题过程：**
我们对方程两边对 $ x $ 求导，使用**隐函数求导法**。
#### **第一步：整理原方程**
原方程为：
$$
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \ln \sqrt{x^2 + y^2}
$$
注意到右边可以简化为：
$$
\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)
$$
所以方程变为：
$$
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)
$$
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#### **第二步：两边对 $ x $ 求导**
我们分别对两边求导。
##### **左边：**
$$
\frac{d}{dx} \left[ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \right]
$$
设 $ u = \frac{y}{x} $，则：
$$
\frac{d}{dx} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}
$$
计算 $ \frac{du}{dx} $：
$$
u = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{y' \cdot x - y}{x^2}
$$
所以左边导数为：
$$
\frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{y' x - y}{x^2}
= \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^2}
= \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y' x - y}{x^2}
= \frac{y' x - y}{x^2 + y^2}
$$
---
##### **右边：**
$$
\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) \right]
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + y^2)
= \frac{1}{2(x^2 + y^2)} \cdot (2x + 2y y')
= \frac{x + y y'}{x^2 + y^2}
$$
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#### **第三步：令左右两边导数相等**
$$
\frac{y' x - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + y y'}{x^2 + y^2}
$$
两边分母相同，可以直接消去，得：
$$
y' x - y = x + y y'
$$
---
#### **第四步：整理求出 $ y' = \frac{dy}{dx} $**
将所有含 $ y' $ 的项移到一边：
$$
y' x - y y' = x + y
$$
提取 $ y' $：
$$
y'(x - y) = x + y
$$
解得：
$$
\frac{dy}{dx} = y' = \frac{x + y}{x - y}
$$
---
### **最终答案：**
$$
\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}}
$$
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✅ **注意：** 此结果在 $ x \ne y $ 时成立，因为分母不能为 0。
解析
本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是先对给定的方程进行化简，然后使用隐函数求导法，对方程两边同时关于$x$求导，再通过移项、合并同类项等操作，解出$\frac{dy}{dx}$。
- 整理原方程：
原方程为$\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$，根据对数运算法则$\ln a^b = b\ln a$，可得$\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)$，所以方程变为$\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)$。 - 两边对$x$求导：
- 求左边的导数：
设$u = \frac{y}{x}$，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，$\frac{d}{dx} \left[ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \right]=\frac{d}{dx} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$。
对$u = \frac{y}{x}$使用除法求导公式$(\frac{v}{w})^\prime=\frac{v^\prime w - vw^\prime}{w^2}$，其中$v = y$，$w = x$，可得$\frac{du}{dx} = \frac{y^\prime \cdot x - y}{x^2}$。
则左边导数为$\frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{y^\prime x - y}{x^2}$，化简：
$\frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{y^\prime x - y}{x^2}=\frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y^\prime x - y}{x^2}=\frac{y^\prime x - y}{x^2 + y^2}$。 - 求右边的导数：
根据复合函数求导法则，$\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + y^2)$。
对$x^2 + y^2$求导，根据加法求导法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，可得$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2)=2x + 2y y^\prime$。
所以右边导数为$\frac{1}{2(x^2 + y^2)} \cdot (2x + 2y y^\prime)=\frac{x + y y^\prime}{x^2 + y^2}$。
- 求左边的导数：
- 令左右两边导数相等：
由$\frac{y^\prime x - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + y y^\prime}{x^2 + y^2}$，因为两边分母相同，所以$y^\prime x - y = x + y y^\prime$。 - 整理求出$y^\prime = \frac{dy}{dx}$：
将含$y^\prime$的项移到一边，得$y^\prime x - y y^\prime = x + y$，提取公因式$y^\prime$，得$y^\prime(x - y) = x + y$，解得$\frac{dy}{dx} = y^\prime = \frac{x + y}{x - y}$。