极限lim _(x arrow 0) x sin (1)/(x^2)=（ ）A. 1；B. infty；C. 不存在.D. 0；

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及无穷小量与有界函数乘积的极限处理方法，以及夹逼定理的应用。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$x$是无穷小量，而$\sin \frac{1}{x^2}$是有界函数（其值在$[-1,1]$之间）。此时，乘积的绝对值被$|x|$控制，而$|x| \rightarrow 0$，因此极限为0。

破题关键点：

1. 识别$\sin \frac{1}{x^2}$的有界性；
2. 利用夹逼定理，通过不等式$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x^2} \leq |x|$得出结论。

步骤1：分析函数结构
表达式为$x \cdot \sin \frac{1}{x^2}$，其中：

• $x$当$x \rightarrow 0$时是无穷小量；
• $\sin \frac{1}{x^2}$的值域为$[-1,1]$，因此是有界函数。

步骤2：应用夹逼定理
对任意$x \neq 0$，有：
$-1 \leq \sin \frac{1}{x^2} \leq 1$
两边同乘$x$（注意$x$的正负会影响不等式方向）：

• 当$x > 0$时：
  $-x \leq x \sin \frac{1}{x^2} \leq x$
• 当$x < 0$时：
  $x \leq x \sin \frac{1}{x^2} \leq -x$

无论$x$正负，均有：
$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x^2} \leq |x|$

步骤3：取极限
当$x \rightarrow 0$时，$|x| \rightarrow 0$，因此根据夹逼定理：
$\lim_{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x^2} = 0$