(3)函数f(x)=ln(sqrt(1+x^2)-x)的奇偶性为____；
题目解答
答案
函数 $ f(x) = \ln(\sqrt{1 + x^2} - x) $ 的定义域为所有实数，关于原点对称。
计算 $ f(-x) $：
$f(-x) = \ln(\sqrt{1 + (-x)^2} - (-x)) = \ln(\sqrt{1 + x^2} + x)$
利用对数性质：
$f(x) + f(-x) = \ln\left[(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)\right] = \ln(1) = 0$
即 $ f(-x) = -f(x) $，满足奇函数条件。
答案： $\boxed{\text{奇函数}}$
解析
考查要点：本题主要考查函数奇偶性的判断，涉及对数函数的性质及代数式的变形能力。
解题核心思路：
- 判断定义域是否关于原点对称：若不对称，直接非奇非偶；
- 计算$f(-x)$，并与$f(x)$比较，判断是否满足奇函数或偶函数的定义。
破题关键点：
- 定义域分析：通过不等式$\sqrt{1+x^2} - x > 0$，证明定义域为全体实数；
- 代数变形：利用平方差公式化简$f(x) + f(-x)$，结合对数性质得出结果。
步骤1：确定定义域
函数$f(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} - x)$的定义域要求$\sqrt{1+x^2} - x > 0$。
- 当$x \geq 0$时，$\sqrt{1+x^2} \geq x$，显然成立；
- 当$x < 0$时，$\sqrt{1+x^2} > 0$，而$-x > 0$，故$\sqrt{1+x^2} - x = \sqrt{1+x^2} + |x| > 0$。
综上，定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。
步骤2：计算$f(-x)$
$f(-x) = \ln\left(\sqrt{1+(-x)^2} - (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{1+x^2} + x\right)$
步骤3：分析$f(x) + f(-x)$
利用对数性质$\ln a + \ln b = \ln(ab)$：
$\begin{aligned}f(x) + f(-x) &= \ln\left[(\sqrt{1+x^2} - x)(\sqrt{1+x^2} + x)\right] \\&= \ln\left[(\sqrt{1+x^2})^2 - x^2\right] \quad \text{（平方差公式）} \\&= \ln(1) = 0.\end{aligned}$
步骤4：得出结论
由$f(x) + f(-x) = 0$得$f(-x) = -f(x)$，故$f(x)$为奇函数。