题目
设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i,j）——可分数列．（1）写出所有的（i,j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i,j）——可分数列；（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i,j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞(1)/(8)．
设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i,j）——可分数列．
（1）写出所有的（i,j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i,j）——可分数列；
（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i,j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞$\frac{1}{8}$．
（1）写出所有的（i,j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i,j）——可分数列；
（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i,j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞$\frac{1}{8}$．
题目解答
答案
解：（1）根据题意，可得当（i,j）取（1，2）时，可以分为a3，a4，a5，a6一组公差为d的等差数列，
当（i,j）取（1，6）时，可以分为a2，a3，a4，a5一组公差为d的等差数列，
当（i,j）取（5，6）时，可以分为a1，a2，a3，a4一组公差为d的等差数列，
所以（i,j）可以为（1，2），（1，6），（5，6）；
（2）证明：当m=3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，
可以分为a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三组公差为3d的等差数列，
所以m=3时符合题意；
当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m+2去掉a2和a13后，
前三组还按照m=3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，
后面的每四个相邻的项分为一组，即a15，a16，a17，a18；...；a4m-1，a4m，a4m+1，a4m+2，
每一组都能构成等差数列，
所以数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）证明：设在给定m的情况下，（i,j）的组数为bm，
当m变成m+1时，数列就变成了a1，a2，a3，a4，a5，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6，
这里可以分成3组，前4个一组即{a1，a2，a3，a4}，中间的一组，后4个一组即{a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：
一、两个都在中间
中间有4m-2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为bm-1种；
二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组
第一组和中间组连起来，会变成4m+2个数的等差数列，这里面总共有bm种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有bm-bm-1种；
三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组
和上面一样，也是共有bm-bm-1种；
四、一个在第一组，一个在最后一组
此时，将a1，a4m+6同时删除是肯定可以的，这算一种；
然后，从（2）的结果来看，把a2，a4m+5同时删除也是可以的，因为m=3成立之后，当m＞3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种．
综上，就会有bm+1≥bm-1+2（bm-bm-1）+2=2bm-bm-1+2，
因为b0=0，b1=3，所以bm≥m2+2m,
如果你是随便删除，总共有${C}_{4m+2}^{2}$=8m2+6m+1种，
所以Pm=$\frac{{b}_{m}}{{C}_{4m+2}^{2}}$$≥\frac{{m}^{2}+2m}{8{m}^{2}+6m+1}$$＞\frac{1}{8}$．
当（i,j）取（1，6）时，可以分为a2，a3，a4，a5一组公差为d的等差数列，
当（i,j）取（5，6）时，可以分为a1，a2，a3，a4一组公差为d的等差数列，
所以（i,j）可以为（1，2），（1，6），（5，6）；
（2）证明：当m=3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，
可以分为a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14三组公差为3d的等差数列，
所以m=3时符合题意；
当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m+2去掉a2和a13后，
前三组还按照m=3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，
后面的每四个相邻的项分为一组，即a15，a16，a17，a18；...；a4m-1，a4m，a4m+1，a4m+2，
每一组都能构成等差数列，
所以数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）证明：设在给定m的情况下，（i,j）的组数为bm，
当m变成m+1时，数列就变成了a1，a2，a3，a4，a5，…，a4m+2，a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6，
这里可以分成3组，前4个一组即{a1，a2，a3，a4}，中间的一组，后4个一组即{a4m+3，a4m+4，a4m+5，a4m+6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：
一、两个都在中间
中间有4m-2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为bm-1种；
二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组
第一组和中间组连起来，会变成4m+2个数的等差数列，这里面总共有bm种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有bm-bm-1种；
三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组
和上面一样，也是共有bm-bm-1种；
四、一个在第一组，一个在最后一组
此时，将a1，a4m+6同时删除是肯定可以的，这算一种；
然后，从（2）的结果来看，把a2，a4m+5同时删除也是可以的，因为m=3成立之后，当m＞3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种．
综上，就会有bm+1≥bm-1+2（bm-bm-1）+2=2bm-bm-1+2，
因为b0=0，b1=3，所以bm≥m2+2m,
如果你是随便删除，总共有${C}_{4m+2}^{2}$=8m2+6m+1种，
所以Pm=$\frac{{b}_{m}}{{C}_{4m+2}^{2}}$$≥\frac{{m}^{2}+2m}{8{m}^{2}+6m+1}$$＞\frac{1}{8}$．