题目
16.求通过点A(3,0,0)和B(0,0,1)且与xOy面成 dfrac (pi )(3) 角的平面的方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平面方程的一般形式
设所求平面方程为 $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}=1$。由于平面过点A(3,0,0)和B(0,0,1)，代入点A和点B的坐标，可以得到 $a=3$ 和 $c=1$。因此，平面方程可以写为 $\dfrac {x}{3}+\dfrac {y}{b}+z=1$。
步骤 2：利用平面与xOy面的夹角求解b
平面与xOy面的夹角为 $\dfrac {\pi }{3}$，即 $\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {1}{2}$。平面的法向量为 $(\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{b},1)$，xOy面的法向量为 $(0,0,1)$。根据法向量的夹角公式，有 $\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {(\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{b},1)\cdot (0,0,1)}{\sqrt {{(\dfrac {1}{3})}^{2}+{(\dfrac {1}{b})}^{2}+{1}^{2}}\cdot 1}$。代入 $\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {1}{2}$，可以得到 $\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{\sqrt {{(\dfrac {1}{3})}^{2}+{(\dfrac {1}{b})}^{2}+{1}^{2}}}$。解得 ${(\dfrac {1}{b})}^{2}=\dfrac {26}{9}$，即 $b=\pm \dfrac {3}{\sqrt {26}}$。
步骤 3：写出平面方程
根据步骤2的结果，可以得到两个平面方程：$\dfrac {x}{3}+\dfrac {y}{\dfrac {3}{\sqrt {26}}}+z=1$ 和 $\dfrac {x}{3}-\dfrac {y}{\dfrac {3}{\sqrt {26}}}+z=1$。化简后得到 $x+\sqrt {26}y+3z=3$ 和 $x-\sqrt {26}y+3z=3$。
设所求平面方程为 $\dfrac {x}{a}+\dfrac {y}{b}+\dfrac {z}{c}=1$。由于平面过点A(3,0,0)和B(0,0,1)，代入点A和点B的坐标，可以得到 $a=3$ 和 $c=1$。因此，平面方程可以写为 $\dfrac {x}{3}+\dfrac {y}{b}+z=1$。
步骤 2：利用平面与xOy面的夹角求解b
平面与xOy面的夹角为 $\dfrac {\pi }{3}$，即 $\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {1}{2}$。平面的法向量为 $(\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{b},1)$，xOy面的法向量为 $(0,0,1)$。根据法向量的夹角公式，有 $\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {(\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{b},1)\cdot (0,0,1)}{\sqrt {{(\dfrac {1}{3})}^{2}+{(\dfrac {1}{b})}^{2}+{1}^{2}}\cdot 1}$。代入 $\cos \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {1}{2}$，可以得到 $\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{\sqrt {{(\dfrac {1}{3})}^{2}+{(\dfrac {1}{b})}^{2}+{1}^{2}}}$。解得 ${(\dfrac {1}{b})}^{2}=\dfrac {26}{9}$，即 $b=\pm \dfrac {3}{\sqrt {26}}$。
步骤 3：写出平面方程
根据步骤2的结果，可以得到两个平面方程：$\dfrac {x}{3}+\dfrac {y}{\dfrac {3}{\sqrt {26}}}+z=1$ 和 $\dfrac {x}{3}-\dfrac {y}{\dfrac {3}{\sqrt {26}}}+z=1$。化简后得到 $x+\sqrt {26}y+3z=3$ 和 $x-\sqrt {26}y+3z=3$。