求下列各极限：(1) lim_((x,y) to (0,1)) (1 - xy)/(x^2 + y^2);(2) lim_((x,y) to (1,0)) (ln(x + e^y))/(sqrt(x^2 + y^2));(3) lim_((x,y) to (0,0)) (2 - sqrt(xy + 4))/(xy);(4) lim_((x,y) to (0,0)) (xy)/(sqrt(2 - e^xy)) - 1(5) lim_((x,y) to (2,0)) (tan(xy))/(y);(6) lim_((x,y) to (0,0)) (1 - cos(x^2 + y^2))/((x^2 + y^2) e^x^2 y^2).

我们来逐题分析并求解这些多元函数的极限。

(1)

$\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{1 - xy}{x^2 + y^2}$

解题过程：

直接代入极限点 $(x, y) = (0, 1)$：

• 分子：$1 - xy = 1 - 0 \cdot 1 = 1$
• 分母：$x^2 + y^2 = 0^2 + 1^2 = 1$

所以：
$\lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{1 - xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{1} = \boxed{1}$

(2)

$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\ln(x + e^y)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

解题过程：

代入 $(x, y) = (1, 0)$：

• 分子：$\ln(x + e^y) = \ln(1 + e^0) = \ln(1 + 1) = \ln 2$
• 分母：$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

所以：
$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\ln(x + e^y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{\ln 2}{1} = \boxed{\ln 2}$

(3)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2 - \sqrt{xy + 4}}{xy}$

解题过程：

这是一个 $ \frac{0}{0} $ 型不定式，考虑有理化分子：

$\frac{2 - \sqrt{xy + 4}}{xy} \cdot \frac{2 + \sqrt{xy + 4}}{2 + \sqrt{xy + 4}} = \frac{(2 - \sqrt{xy + 4})(2 + \sqrt{xy + 4})}{xy(2 + \sqrt{xy + 4})}$

分子展开：
$(2 - \sqrt{xy + 4})(2 + \sqrt{xy + 4}) = 4 - (xy + 4) = -xy$

所以：
$\frac{-xy}{xy(2 + \sqrt{xy + 4})} = \frac{-1}{2 + \sqrt{xy + 4}}$

当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$xy \to 0$，所以：
$\sqrt{xy + 4} \to \sqrt{4} = 2$

因此：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2 - \sqrt{xy + 4}}{xy} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-1}{2 + \sqrt{xy + 4}} = \frac{-1}{2 + 2} = \boxed{-\frac{1}{4}}$

(4)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{2 - e^{xy}} - 1}$

解题过程：

令 $t = xy$，则当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$t \to 0$。极限变为：
$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{2 - e^t} - 1}$

这个也是 $ \frac{0}{0} $ 型，使用洛必达法则：

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{2 - e^t} - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{2 - e^t}} \cdot (-e^t)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{-e^t}{2\sqrt{2 - e^t}}}$

化简：
$= \lim_{t \to 0} \frac{2\sqrt{2 - e^t}}{-e^t}$

代入 $t = 0$：

• 分子：$2\sqrt{2 - e^0} = 2\sqrt{2 - 1} = 2$
• 分母：$-e^0 = -1$

所以极限为：
$\frac{2}{-1} = \boxed{-2}$

(5)

$\lim_{(x,y) \to (2,0)} \frac{\tan(xy)}{y}$

解题过程：

令 $t = xy$，当 $(x, y) \to (2, 0)$ 时，$t \to 0$。极限变为：
$\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} \cdot x = 1 \cdot 2 = \boxed{2}$

(6)

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1 - \cos(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2) e^{x^2 y^2}}$

解题过程：

令 $r^2 = x^2 + y^2$，当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$r \to 0$。则：
$\lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos(r^2)}{r^2 e^{x^2 y^2}}$

注意到 $x^2 y^2 \leq r^4$，所以 $e^{x^2 y^2} \to e^0 = 1$，因此：
$\lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos(r^2)}{r^2} \cdot \frac{1}{e^{x^2 y^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos(r^2)}{r^2} \cdot 1$

利用极限公式：
$\lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos(r^2)}{r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{2 \sin^2(r^2/2)}{r^2} = \frac{2 \cdot (r^2/2)^2}{r^2} = \frac{r^4/2}{r^2} = \frac{r^2}{2} \to 0$

或者直接使用：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

所以：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1 - \cos(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2) e^{x^2 y^2}} = \boxed{0}$

✅ 最终答案汇总：

1. $\boxed{1}$
2. $\boxed{\ln 2}$
3. $\boxed{-\frac{1}{4}}$
4. $\boxed{-2}$
5. $\boxed{2}$
6. $\boxed{0}$