幂级数 sum_(n=1)^infty (2^n)/(n^2+1) x^n 的收敛域为______. A. [-(1)/(2), (1)/(2)]B. (-(1)/(2), (1)/(2)]C. (-(1)/(2), (1)/(2))D. [-(1)/(2), (1)/(2))

为了确定幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2+1}x^n$的收敛域，我们将使用比值测试来找到收敛半径，然后检查收敛区间的端点。 ### 第1步：应用比值测试 比值测试指出，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$，那么： - 如果 $L < 1$，级数绝对收敛。 - 如果 $L > 1$，级数发散。 - 如果 $L = 1$，测试不确定。 对于给定的级数，$a_n = \frac{2^n}{n^2+1}x^n$。我们计算$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$： \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)^2+1}x^{n+1}}{\frac{2^n}{n^2+1}x^n} \right| = \left| \frac{2^{n+1} x^{n+1} (n^2+1)}{2^n x^n ((n+1)^2+1)} \right| = \left| 2x \cdot \frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} \right| \] 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} \to \frac{n^2}{n^2} = 1$。因此， \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 2x \cdot \frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} \right| = |2x| \] 为了使级数绝对收敛，我们需要 $|2x| < 1$，简化为 $|x| < \frac{1}{2}$。因此，收敛半径 $R$ 是 $\frac{1}{2}$。 ### 第2步：检查端点 收敛区间是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。我们需要检查端点 $x = -\frac{1}{2}$ 和 $x = \frac{1}{2}$ 处的级数收敛性。 #### 端点 $x = \frac{1}{2}$ 级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$。 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，因为 $\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$ 并且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是一个收敛的 p-级数（$p = 2 > 1$）。 #### 端点 $x = -\frac{1}{2}$ 级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}$。 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}$ 通过交替级数测试收敛，因为 $\frac{1}{n^2+1}$ 是一个递减序列，且 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2+1} = 0$。 由于级数在两个端点都收敛，收敛域是 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$。 ### 最终答案 幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2+1}x^n$的收敛域是 $\boxed{A}$。