设f(x)在点x=a处可导,则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分必要条件是( )A. f(a)=0且f’(a)=0。B. f(a)=0且f’(a)≠0。C. f(a)>0且f’(a)>0。D. f(a)

考查要点：绝对值函数在某点的可导性条件，涉及导数的定义及左右导数的判断。

解题核心思路：
当$f(a) \neq 0$时，$|f(x)|$在$x=a$处可导；当$f(a)=0$时，需进一步分析$f'(a)$是否为零。若$f'(a) \neq 0$，则左右导数不相等，导致不可导；若$f'(a)=0$，则可能可导。

破题关键点：

• 绝对值函数的导数性质：当内部函数在某点不为零时，绝对值函数的可导性由内部函数的符号决定；当内部函数值为零时，需通过左右导数判断可导性。
• 导数定义的应用：通过左右导数是否相等，结合$f(a)$和$f'(a)$的值，确定不可导的条件。

关键步骤分析：

1. 当$f(a) \neq 0$时：

   • 若$f(a) > 0$，则在$x=a$附近$f(x) > 0$，此时$|f(x)| = f(x)$，导数为$f'(a)$，可导。
   • 若$f(a) < 0$，则在$x=a$附近$f(x) < 0$，此时$|f(x)| = -f(x)$，导数为$-f'(a)$，可导。
     结论：选项C、D对应$f(a) \neq 0$，故$|f(x)|$可导，排除C、D。

2. 当$f(a) = 0$时：

   • 若$f'(a) \neq 0$：
     • 右导数：当$x \to a^+$时，$f(x) \approx f'(a)(x-a)$，若$f'(a) > 0$，则$f(x) > 0$，右导数为$f'(a)$；若$f'(a) < 0$，则$f(x) < 0$，右导数为$-f'(a)$。
     • 左导数：当$x \to a^-$时，$f(x) \approx f'(a)(x-a)$，若$f'(a) > 0$，则$f(x) < 0$，左导数为$-f'(a)$；若$f'(a) < 0$，则$f(x) > 0$，左导数为$f'(a)$。
     • 左右导数不相等，故$|f(x)|$不可导。
   • 若$f'(a) = 0$：
     • 此时$f(x)$在$x=a$处展开为高阶小项，例如$f(x) = x^2$，此时$|f(x)|$在$x=a$处导数为0，可导。
       结论：选项B（$f(a)=0$且$f'(a) \neq 0$）是不可导的充分必要条件，选项A（$f(a)=0$且$f'(a)=0$）可能可导。