题目

几道线性代数选择题和判断题1、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 02、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 03、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 04、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 05、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 06、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 07、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 08、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 09、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 010、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 011、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 012、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 013、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 014、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 015、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 01、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 02、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 03、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 04、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 05、设A,B为n阶矩阵,则 () 是正确的。-|||-A.若 =0, 则 A=0 或 B=0-|||-B. ((A-B))^2=(A)^2-2AB+(B)^2-|||-C. ((AB))^r=(A)^r(B)^r-|||-D ([ {(AB))^-1] }^5=(({A)^7)}^-1(({B)^r)}^-1 |A|neq 0 |B|neq 0

几道线性代数选择题和判断题
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题目解答

答案

D,D,C,C,D
A,C,B,A,B
C,C,C,B,D
错,错,错,错,对

解析

矩阵运算性质是本题的核心考查点，需掌握矩阵乘法的非交换性、转置运算规则、逆矩阵的性质及行列式相关结论。关键思路在于逐一验证选项，排除错误答案。

第1题

考查要点：矩阵运算性质。

  • 选项C：$(AB)^T = B^T A^T$，但题目中写为$A^r B^T$，若$r$为转置符号，则顺序错误，应为$B^T A^T$，故错误。
  • 选项D：$[(AB)^{-1}]^5 = (A^7)^{-1} (B^r)^{-1}$，若$B^r$为$B^T$，则等式成立需满足$(AB)^{-5} = B^{-T} A^{-7}$。当$A,B$可逆且满足特定关系时成立，故正确。

第2题

考查要点：矩阵幂等性。

  • 若$A$可逆，两边左乘$A^{-1}$得$A = E$，故选项D正确。

第3题

考查要点：矩阵秩的性质。

  • $A$秩为$n$，$C$可逆，故$B = AC$的秩也为$n$，即$r = r_1$，选项C正确。

第4题

考查要点：伴随矩阵秩的性质。

  • $R(A) = 2$，四阶矩阵的伴随矩阵秩为$1$（因$R(A) < n$时，$R(A^+) = 1$），选项B正确。

第5题

考查要点：行列式为零的条件。

  • 齐次方程组有非零解是必要条件，选项D正确。

第6题

考查要点：矩阵方程求解。

  • 由$C = E - \mu F_y$及$C = u_2 + Cu$，解得$E - C = E$，选项A正确。

第7题

考查要点：对称幂零矩阵性质。

  • 若$A^2 = 0$且$A^T = A$，则$A = 0$，选项C正确。

第8题

考查要点：矩阵等价条件。

  • 秩相等的矩阵必等价，选项B正确。

第9题

考查要点：行列式项的符号与位置。

  • 选项A符号与元素位置符合行列式展开规则，正确。

第10题

考查要点：伴随矩阵性质。

  • 选项B应为$(-A)^* = (-1)^{n-1} A^*$，故错误。

第11题

考查要点：矩阵乘积与行列式的关系。

  • 若$AB = 0$，$|A| \neq 0$且$|B| \neq 0$不可能，选项D正确。

第12题

考查要点：相似对角矩阵的条件。

  • 需有$n$个线性无关特征向量，选项C正确。

第13题

考查要点：矩阵乘积为零的性质。

  • $AB = 0$，$A,B$至少一个不可逆，选项C正确。

第14题

考查要点：特征值变换。

  • $\lambda = 3$对应$(2A^2)^{-1}$的特征值为$\frac{1}{18}$，选项B正确**。

第15题

考查要点：特征值与逆矩阵关系。

  • $2A^{-1}$的特征值为$\frac{2}{\lambda_0}$，选项D正确**。