题目
一无限长直导线通有交变电流 =(I)_(0)sin omega t, 它旁边有一与它共面的矩形线圈-|||-ABCD,如题 8-11 图所示,长为l的AB和CD两边与直导线平行,他们到直导线的距离分-|||-别为a和b.试求矩形线圈所围面积的磁通量,以及线圈中的感应电动势.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁通量的计算方法
在无限长直导线周围，磁场的分布可以用安培环路定理来确定。对于距离导线为 $x$ 的位置，磁场强度 $B$ 为 $B=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi x}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$i$ 是导线中的电流。矩形线圈的面积元 $dS$ 可以表示为 $dS=ldx$，其中 $l$ 是矩形线圈的长度，$dx$ 是沿导线方向的微小长度。
步骤 2：计算磁通量
磁通量 $\phi_m$ 可以通过积分磁场强度 $B$ 与面积元 $dS$ 的乘积来计算。因此，矩形线圈所围面积的磁通量为
$$
\phi_m = \int_{a}^{b} B \cdot dS = \int_{a}^{b} \dfrac{\mu_0 i}{2\pi x} l dx = \dfrac{\mu_0 i l}{2\pi} \int_{a}^{b} \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{\mu_0 i l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a}
$$
其中，$a$ 和 $b$ 分别是矩形线圈的两边到导线的距离。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 $e$ 与磁通量的变化率成正比，即
$$
e = -\dfrac{d\phi_m}{dt}
$$
将磁通量 $\phi_m$ 的表达式代入，得到
$$
e = -\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\mu_0 i l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} \right) = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} \dfrac{d}{dt} (i) = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} \dfrac{d}{dt} ({I_0} \sin \omega t) = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} {I_0} \omega \cos \omega t
$$
在无限长直导线周围，磁场的分布可以用安培环路定理来确定。对于距离导线为 $x$ 的位置，磁场强度 $B$ 为 $B=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi x}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$i$ 是导线中的电流。矩形线圈的面积元 $dS$ 可以表示为 $dS=ldx$，其中 $l$ 是矩形线圈的长度，$dx$ 是沿导线方向的微小长度。
步骤 2：计算磁通量
磁通量 $\phi_m$ 可以通过积分磁场强度 $B$ 与面积元 $dS$ 的乘积来计算。因此，矩形线圈所围面积的磁通量为
$$
\phi_m = \int_{a}^{b} B \cdot dS = \int_{a}^{b} \dfrac{\mu_0 i}{2\pi x} l dx = \dfrac{\mu_0 i l}{2\pi} \int_{a}^{b} \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{\mu_0 i l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a}
$$
其中，$a$ 和 $b$ 分别是矩形线圈的两边到导线的距离。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 $e$ 与磁通量的变化率成正比，即
$$
e = -\dfrac{d\phi_m}{dt}
$$
将磁通量 $\phi_m$ 的表达式代入，得到
$$
e = -\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\mu_0 i l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} \right) = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} \dfrac{d}{dt} (i) = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} \dfrac{d}{dt} ({I_0} \sin \omega t) = -\dfrac{\mu_0 l}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} {I_0} \omega \cos \omega t
$$