为清除井底的淤泥 , 用缆绳将抓斗放入井底 , 抓起污泥后提出井口 ( 见图 ). 已知井深 30m ，抓斗自重 400N ，缆绳每米重 50N ，抓斗抓起的污泥重 2000N ，提升速度为 3m/s ，在提升过程中，污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功 ? ( 说明：① 1N×1m=1Jm,N,s,J 分别表示米 , 牛 , 秒 , 焦。②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计 .) 非

考查要点：本题主要考查变力做功的积分计算，涉及物理中的功、力随位置变化的函数建立，以及积分应用。

解题核心思路：

1. 确定各力随位置变化的表达式：包括抓斗自重、缆绳重量、剩余污泥重量。
2. 建立总作用力函数：将各力相加，得到作用力$f(x)$关于位置$x$的表达式。
3. 积分求功：对作用力函数在提升路径上积分，得到总功。

破题关键点：

• 缆绳重量随高度变化：随着抓斗上升，井中缆绳长度减少，重量线性减小。
• 污泥重量随时间（或位置）变化：污泥以恒定速率漏掉，需通过提升速度将时间转换为位置函数。
• 正确合并项：注意代数运算的准确性，避免系数错误。

1. 建立坐标系与变量定义

设井底为原点，提升方向为$x$轴正方向，抓斗上升高度为$x$（单位：米）。

2. 分析各力随位置的变化

• 抓斗自重：恒为$400\,\text{N}$。
• 缆绳重量：井中剩余缆绳长度为$(30 - x)\,\text{m}$，重量为$(30 - x) \times 50\,\text{N}$。
• 剩余污泥重量：污泥漏失速率为$20\,\text{N/s}$，提升速度为$3\,\text{m/s}$，故时间$t = \frac{x}{3}$，漏失重量为$20 \times \frac{x}{3} = \frac{20}{3}x\,\text{N}$，剩余重量为$2000 - \frac{20}{3}x\,\text{N}$。

3. 总作用力函数

总作用力为各力之和：
$f(x) = 400 + 50(30 - x) + \left(2000 - \frac{20}{3}x\right)$
化简得：
$f(x) = 3900 - \frac{170}{3}x$

4. 积分计算总功

功的计算公式为：
$W = \int_{0}^{30} f(x)\,\text{d}x = \int_{0}^{30} \left(3900 - \frac{170}{3}x\right)\,\text{d}x$
积分结果为：
$W = \left[3900x - \frac{85}{3}x^2\right]_{0}^{30} = 3900 \times 30 - \frac{85}{3} \times 30^2 = 91500\,\text{J}$