题目

为清除井底的淤泥 , 用缆绳将抓斗放入井底 , 抓起污泥后提出井口 ( 见图 ). 已知井深 30m ，抓斗自重 400N ，缆绳每米重 50N ，抓斗抓起的污泥重 2000N ，提升速度为 3m/s ，在提升过程中，污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功 ? ( 说明：① 1N×1m=1Jm,N,s,J 分别表示米 , 牛 , 秒 , 焦。②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计 .) 非

为清除井底的淤泥 , 用缆绳将抓斗放入井底 , 抓起污泥后提出井口 ( 见图 ). 已知井深 30m ，抓斗自重 400N ，缆绳每米重 50N ，抓斗抓起的污泥重 2000N ，提升速度为 3m/s ，在提升过程中，污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功 ?

( 说明：① 1N×1m=1Jm,N,s,J 分别表示米 , 牛 , 秒 , 焦。②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计 .)


题目解答

答案

如图所示建立 x 轴 , 设将抓起污泥的抓斗提升至井口所需要做的功为 W, 当抓斗提升至 x 时 , 作用力 f(x) 包括抓斗自身的重力 400N, 缆绳的重力 (30−x)50N, 污泥的重力 2000−20x3N

因此 f(x)=400+(30−x)50+2000−20x3=3900−1703x

∴W=∫300f(x)dx=∫300(3900−1703x)dx=[3900x−85x3]300=91500(J)

解析

步骤 1：确定作用力函数
- 抓斗自重为 400N。
- 缆绳每米重 50N，因此提升 x 米时，缆绳的重力为 (30-x)50N。
- 抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3m/s，污泥以 20N/s 的速率漏掉，因此提升 x 米时，污泥的重力为 2000 - 20x/3 N。
- 因此，作用力函数 f(x) = 400 + (30-x)50 + 2000 - 20x/3 = 3900 - 170x/3。

步骤 2：计算总功
- 总功 W 可以通过积分作用力函数 f(x) 从 0 到 30 来计算。
- W = ∫(0 到 30) f(x) dx = ∫(0 到 30) (3900 - 170x/3) dx。
- 计算积分：W = [3900x - 85x^2/3] (从 0 到 30) = 3900*30 - 85*30^2/3 = 117000 - 25500 = 91500 J。