1、(5分)若A=(a_(ij))_(ntimes n)是非零矩阵，且|A|中每个元素a_(ij)与其代数余子式A_(ij)相等，则|A|=0.（）A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查行列式的性质、代数余子式的定义以及伴随矩阵的应用。关键在于理解元素与其代数余子式相等时，矩阵行列式的可能取值。

解题核心思路：

1. 行列式展开：利用行列式的展开式，结合元素与代数余子式相等的条件，推导出行列式的表达式。
2. 伴随矩阵性质：通过伴随矩阵与原矩阵的关系，分析行列式的可能值。
3. 矛盾分析：结合非零矩阵的条件，推导出矛盾，从而确定行列式的值。

破题关键点：

• 代数余子式的定义：明确代数余子式与元素的关系。
• 行列式展开的特殊形式：当元素等于代数余子式时，行列式可表示为元素平方和。
• 伴随矩阵与行列式的关联：利用伴随矩阵的性质推导行列式的可能值，结合非零矩阵的条件得出矛盾。

步骤1：行列式展开
根据行列式的展开式，按第$i$行展开：
$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$
题目中$a_{ij} = A_{ij}$，代入得：
$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$
由于$A$是非零矩阵，至少存在一个$a_{ij} \neq 0$，因此：
$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 > 0$

步骤2：伴随矩阵性质
由$a_{ij} = A_{ij}$，代数余子式矩阵转置为$A^T$，即$\text{adj}(A) = A^T$。根据伴随矩阵性质：
$A \cdot \text{adj}(A) = |A| I \implies A \cdot A^T = |A| I$
对等式两边取行列式：
$|A \cdot A^T| = ||A| I| \implies |A|^2 = |A|^n$
若$|A| \neq 0$，则$|A|^{n-2} = 1$，解得$|A| = 1$（当$n \geq 2$时）。但此时$A$需满足正交矩阵性质，而元素与代数余子式相等的条件仅在单位矩阵时成立，与非零矩阵矛盾。

步骤3：矛盾分析
若$|A| = 0$，则代数余子式矩阵$\text{adj}(A) = 0$，从而$a_{ij} = 0$，与$A$非零矛盾。因此，唯一可能的情况是$|A| = 0$，否则与题设条件矛盾。