5阶行列式 D 中次对角线元素之积的那项的符号为负。( )A. 对B. 错

本题考查行列式中项的符号的确定，解题思路是先写出 5 阶行列式中次对角线元素之积的项，再根据排列的逆序数来确定该项的符号。

步骤一：写出 5 阶行列式中次对角线元素之积的项

对于 5 阶行列式，次对角线元素分别为 $a_{15},a_{24},a_{33},a_{42},a_{51}$，所以次对角线元素之积的项为 $a_{15}a_{24}a_{33}a_{42}a_{51}$。

步骤二：确定该项列标排列的逆序数

在该项中，列标排列为 $54321$。逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
计算排列 $54321$ 的逆序数：

• 从第一个数 $5$ 开始，它后面比它小的数有 $4$ 个（$4,3,2,1$），所以逆序数为 $4$；
• 接着看 $4$，它后面比它小的数有 $3$ 个（$3,2,1$），逆序数增加 $3$；
• 再看 $3$，它后面比它小的数有 $2$ 个（$2,1$），逆序数增加 $2$；
• 然后看 $2$，它后面比它小的数有 $1$ 个（$1$），逆序数增加 $1$；
• 最后 $1$ 后面没有比它小的数，逆序数为 $0$。

将所有逆序数相加，可得排列 $54321$ 的逆序数 $t = 4 + 3 + 2 + 1+0=\frac{4\times(4 + 1)}{2}=10$。

步骤三：根据逆序数确定该项的符号

根据行列式的定义，$n$ 阶行列式中项 $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$ 的符号为 $(-1)^t$，其中 $t$ 是列标排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数。
因为 $t = 10$，所以 $(-1)^{10}=1$，这表明次对角线元素之积的那项的符号为正，而不是负。