题目
iint_(Sigma) 4zx , dy , dz - 2zy , dz , dx + (1 - z^2), dx , dy，Sigma 是 z = x^2 + y^2 介于 0 leq z leq 1 之间部分之下侧. A. 1B. 2C. (1)/(2)D. 0
$\iint_{\Sigma} 4zx \, dy \, dz - 2zy \, dz \, dx + (1 - z^2)\, dx \, dy$，$\Sigma$ 是 $z = x^2 + y^2$ 介于 $0 \leq z \leq 1$ 之间部分之下侧.
- A. 1
- B. 2
- C. $\frac{1}{2}$
- D. 0
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 补上平面 $z=1$（上侧），构成闭合曲面。由高斯公式，闭合曲面的通量为：
\[
\iiint\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}V = \iiint\limits_{\Omega} (4z - 2z - 2z) \, \mathrm{d}V = 0
\]
平面 $z=1$ 上的通量为：
\[
\iint\limits_{\Sigma_1} (1 - 1^2) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0
\]
因此，曲面 $\Sigma$（下侧）的通量为：
\[
\iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = -\iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = 0
\]
答案：$\boxed{D}$。
解析
步骤 1：确定积分区域和被积函数
积分区域 $\Sigma$ 是由 $z = x^2 + y^2$ 在 $0 \leq z \leq 1$ 之间的部分，且积分是沿着曲面的下侧。被积函数为 $4zx \, dy \, dz - 2zy \, dz \, dx + (1 - z^2)\, dx \, dy$。
步骤 2：应用高斯公式
为了简化计算，我们考虑将曲面 $\Sigma$ 补上平面 $z=1$（上侧），构成闭合曲面。根据高斯公式，闭合曲面的通量为：
\[ \iiint\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}V \]
其中，$P = 4zx$，$Q = -2zy$，$R = 1 - z^2$。计算偏导数：
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = 4z, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2z, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = -2z \]
因此，闭合曲面的通量为：
\[ \iiint\limits_{\Omega} (4z - 2z - 2z) \, \mathrm{d}V = \iiint\limits_{\Omega} 0 \, \mathrm{d}V = 0 \]
步骤 3：计算平面 $z=1$ 上的通量
平面 $z=1$ 上的通量为：
\[ \iint\limits_{\Sigma_1} (1 - 1^2) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{\Sigma_1} 0 \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0 \]
步骤 4：计算曲面 $\Sigma$（下侧）的通量
由于闭合曲面的通量为0，且平面 $z=1$ 上的通量也为0，因此曲面 $\Sigma$（下侧）的通量为：
\[ \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = -\iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = 0 \]
积分区域 $\Sigma$ 是由 $z = x^2 + y^2$ 在 $0 \leq z \leq 1$ 之间的部分，且积分是沿着曲面的下侧。被积函数为 $4zx \, dy \, dz - 2zy \, dz \, dx + (1 - z^2)\, dx \, dy$。
步骤 2：应用高斯公式
为了简化计算，我们考虑将曲面 $\Sigma$ 补上平面 $z=1$（上侧），构成闭合曲面。根据高斯公式，闭合曲面的通量为：
\[ \iiint\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}V \]
其中，$P = 4zx$，$Q = -2zy$，$R = 1 - z^2$。计算偏导数：
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = 4z, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2z, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = -2z \]
因此，闭合曲面的通量为：
\[ \iiint\limits_{\Omega} (4z - 2z - 2z) \, \mathrm{d}V = \iiint\limits_{\Omega} 0 \, \mathrm{d}V = 0 \]
步骤 3：计算平面 $z=1$ 上的通量
平面 $z=1$ 上的通量为：
\[ \iint\limits_{\Sigma_1} (1 - 1^2) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_{\Sigma_1} 0 \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0 \]
步骤 4：计算曲面 $\Sigma$（下侧）的通量
由于闭合曲面的通量为0，且平面 $z=1$ 上的通量也为0，因此曲面 $\Sigma$（下侧）的通量为：
\[ \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = -\iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S = 0 \]