题目

设事件A,B相互独立,已知仅有A发生的概率为 dfrac (1)(4), 仅有B发生的概率为-|||-dfrac (1)(4), 求P(A)和P(B).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，以及如何通过设立方程求解未知概率。

解题核心思路：

  1. 理解“仅有A发生”和“仅有B发生”的含义，即事件A发生而B不发生，或B发生而A不发生。
  2. 利用独立事件的性质，将概率表达式转化为关于$P(A)$和$P(B)$的方程。
  3. 通过方程组的对称性，简化计算过程，得出结果。

破题关键点：

  • 独立事件的乘法公式：$P(AB) = P(A)P(B)$。
  • 正确表达“仅有A发生”和“仅有B发生”的概率：$P(A\overline{B}) = P(A)(1-P(B))$，$P(\overline{A}B) = P(B)(1-P(A))$。
  • 观察方程的对称性，假设$P(A) = P(B)$，简化计算。

设$P(A) = p$，$P(B) = q$。根据题意：

  1. 仅有A发生的概率：
    $P(A\overline{B}) = p(1 - q) = \frac{1}{4}$
  2. 仅有B发生的概率：
    $P(\overline{A}B) = q(1 - p) = \frac{1}{4}$

建立方程组：
$\begin{cases}p(1 - q) = \frac{1}{4} \\q(1 - p) = \frac{1}{4}\end{cases}$

解方程：

  1. 观察方程对称性，假设$p = q$，代入第一个方程：
    $p(1 - p) = \frac{1}{4}$
    展开得：
    $p^2 - p + \frac{1}{4} = 0$
    解得：
    $p = \frac{1 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{1}{2}$
    因此，$p = q = \frac{1}{2}$。

  2. 验证解的合理性：
    代入原方程，均满足$p(1 - q) = \frac{1}{4}$和$q(1 - p) = \frac{1}{4}$，故解正确。