1.求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-x)(ln (1+{x)^3)}

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及在极限计算中对函数展开式的理解。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$\tan x - x$和分母$\ln(1+x^3)$均趋近于$0$，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式。此时可通过等价无穷小替换简化表达式，避免复杂的洛必达法则多次求导。

破题关键点：

1. 分母替换：$\ln(1+x^3) \sim x^3$（当$x \rightarrow 0$时）。
2. 分子展开：将$\tan x$展开为泰勒级数，保留到$x^3$项，得到$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$。

步骤1：处理分母

当$x \rightarrow 0$时，$\ln(1+x^3)$的等价无穷小为$x^3$，即：
$\ln(1+x^3) \sim x^3.$

步骤2：处理分子

将$\tan x$展开为泰勒级数：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \cdots.$
因此，
$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}.$

步骤3：代入并化简

将分子和分母的等价无穷小代入原式：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x - x}{\ln(1+x^3)} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{x^3}{3}}{x^3} = \dfrac{1}{3}.$