函数 z=3x+2y 在点 (1,1) 处沿圆 x^2+y^2=2 外法线方向的方向导数为( )A. dfrac(5sqrt(2))(2)B. -dfrac(5sqrt(2))(2)C. 5sqrt(2)D. -5sqrt(2)

本题考查方向导数的计算，解题的关键在于先求出圆在给定点处的外法线方向向量，再将其单位化，最后结合函数的偏导数来计算方向导数。

1. 求圆在点$(1,1)$处的外法线方向向量：
   设$F(x,y)=x^{2}+y^{2}-2$，根据隐函数求导法，圆$x^{2}+y^{2}=2$在某点处的法向量为$\vec{n}=\left(F_{x},F_{y}\right)$。
   对$F(x,y)$分别求关于$x$和$y$的偏导数：
   • 对$x$求偏导数，将$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=2x$。
   • 对$y$求偏导数，将$x$看作常数，同理可得$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=2y$。
     将点$(1,1)$代入$\vec{n}=\left(F_{x},F_{y}\right)$，可得$\vec{n}\big|_{(1,1)}=(2\times1,2\times1)=(2,2)$，此向量即为圆在点$(1,1)$处的外法线方向向量。
2. 将外法线方向向量单位化：
   对于向量$\vec{n}=(2,2)$，其模$\vert\vec{n}\vert=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
   单位向量$\vec{e}=\frac{\vec{n}}{\vert\vec{n}\vert}=\left(\frac{2}{2\sqrt{2}},\frac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
3. 求函数$z = 3x + 2y$在点$(1,1)$处的偏导数：
   • 对$x$求偏导数，将$y$看作常数，可得$z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}=3$。
   • 对$y$求偏导数，将$x$看作常数，可得$z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}=2$。
     所以$\nabla z\big|_{(1,1)}=(z_{x}\big|_{(1,1)},z_{y}\big|_{(1,1)})=(3,2)$。
4. 计算方向导数：
   根据方向导数的计算公式$\frac{\partial z}{\partial l}=\nabla z\cdot\vec{e}$，将$\nabla z\big|_{(1,1)}=(3,2)$和$\vec{e}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$代入可得：
   $\frac{\partial z}{\partial l}=(3,2)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3\times\frac{\sqrt{2}}{2}+2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。