设 A, B 为两个相互独立的事件，P(A) > 0, P(B) > 0，则 P(A cup B) 为（ ）。A. P(A) + P(B)B. 1 - P(overline(A))P(overline(B))C. 1 + P(overline(A))P(overline(B))D. 1 - P(AB)

我们来一步一步分析这个概率题。

题目条件：

• 事件 $ A $ 和 $ B $ 是相互独立的事件；
• $ P(A) > 0 $，$ P(B) > 0 $；
• 要求 $ P(A \cup B) $ 的表达式。

第一步：回顾概率的基本公式

对于任意两个事件 $ A $ 和 $ B $，并事件的概率公式为：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

这个公式是通用的，无论事件是否独立。

第二步：利用独立性

题目中说 $ A $ 和 $ B $ 是相互独立的事件，所以有：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

代入上面的并集公式：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$

这是在独立条件下的具体表达式。

第三步：分析选项

我们逐个看选项：

A. $ P(A) + P(B) $

这个是错误的，因为它没有减去交集部分。只有当 $ A $ 和 $ B $ 互斥时才成立，但题目中 $ A $ 和 $ B $ 是独立的，且 $ P(A) > 0 $、$ P(B) > 0 $，所以 $ P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0 $，说明它们不是互斥的，因此不能直接相加。

✘ 错误。

B. $ 1 - P(\overline{A})P(\overline{B}) $

我们来分析这个表达式。

首先，$ \overline{A} $ 表示 $ A $ 的补事件，即不发生 $ A $，同理 $ \overline{B} $ 是 $ B $ 不发生。

由于 $ A $ 和 $ B $ 独立，可以推出：
$ \overline{A} $ 和 $ \overline{B} $ 也是独立的（独立事件的补事件也独立）。

所以：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$

而 $ \overline{A} \cap \overline{B} $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 都不发生，也就是 $ \overline{A \cup B} $。

因此：
$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) \Rightarrow P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B})$

✔ 完全正确！

C. $ 1 + P(\overline{A})P(\overline{B}) $

这个明显不对，因为概率不可能大于 1，而 $ P(\overline{A})P(\overline{B}) > 0 $，所以这个表达式大于 1，而 $ P(A \cup B) \leq 1 $。

✘ 错误。

D. $ 1 - P(AB) $

$ P(AB) $ 就是 $ P(A \cap B) $，所以这个选项是 $ 1 - P(A \cap B) $

而 $ P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) $，不是 $ 1 - P(A \cap B) $

除非特殊情况，否则 $ P(\overline{A} \cap \overline{B}) \neq P(A \cap B) $

举个反例：设 $ P(A) = P(B) = 0.5 $，独立

则：

• $ P(A \cup B) = 0.5 + 0.5 - 0.25 = 0.75 $
• $ 1 - P(AB) = 1 - 0.25 = 0.75 $？咦，这里碰巧相等？

等等，我们算一下：

• $ P(A \cup B) = 0.75 $
• $ 1 - P(AB) = 1 - 0.25 = 0.75 $

竟然相等？这是巧合吗？

我们再换一个例子：设 $ P(A) = 0.6 $, $ P(B) = 0.7 $，独立

则：

• $ P(A \cap B) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 $
• $ P(A \cup B) = 0.6 + 0.7 - 0.42 = 0.88 $
• $ 1 - P(AB) = 1 - 0.42 = 0.58 \ne 0.88 $

所以不相等！前面那个是巧合（因为 $ P(A)=P(B)=0.5 $，导致 $ 1 - P(AB) = 0.75 $，但实际 $ P(A \cup B) = 0.75 $，只是数值碰巧一样）

所以 D 选项 不恒成立。

✘ 错误。

正确答案是：

$\boxed{B. \ 1 - P(\overline{A})P(\overline{B})}$

总结：

• 利用独立性；
• 利用补集思想：$ P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) $；
• 由于独立，$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) $；
• 所以 $ P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B}) $

✅ 最终答案：B