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题目

李克强总理提出,要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”、“草根创业”的新浪潮,形成“万众创新”、“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召,小王开了两家店铺,每个店铺招收了两名员工,若某节假日每位员工的休假概率均为(1)/(3),且是否休假互不影响,若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店铺,使得该店铺能够正常营业,否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为( )A. (1)/(9)B. (4)/(9)C. (5)/(9)D. (8)/(9)

李克强总理提出,要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”、“草根创业”的新浪潮,形成“万众创新”、“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召,小王开了两家店铺,每个店铺招收了两名员工,若某节假日每位员工的休假概率均为$\frac{1}{3}$,且是否休假互不影响,若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店铺,使得该店铺能够正常营业,否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为( )

A. $\frac{1}{9}$

B. $\frac{4}{9}$

C. $\frac{5}{9}$

D. $\frac{8}{9}$

题目解答

答案

D. $\frac{8}{9}$

解析

考查要点:本题主要考查独立事件的概率计算,以及组合概率的应用。关键在于理解题目中“正常开业”的条件,并将其转化为数学表达式。

解题核心思路:
题目中“正常开业”的条件等价于四名员工中至少有两人不休假。若四名员工中不足两人不休假(即全部休假或仅一人不休假),则无法通过调剂维持两家店铺营业。因此,只需计算四名员工中至少两人不休假的概率。

破题关键点:

  1. 独立事件概率:每位员工的休假状态相互独立,概率为$\frac{1}{3}$(休假)和$\frac{2}{3}$(不休假)。
  2. 逆向思维:直接计算“至少两人不休假”的概率较复杂,可转化为1减去“最多一人不休假”的概率,即$1 - P(\text{四人全休}) - P(\text{恰一人不休})$。

步骤1:计算四人全休的概率
四名员工全部休假的概率为:
$P(\text{四人全休}) = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$

步骤2:计算恰有一人不休的概率
从四人中选1人不休,其余三人休假的概率为:
$P(\text{恰一人不休}) = C_4^1 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 = 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$

步骤3:计算至少两人不休的概率
用总概率1减去上述两种情况的概率:
$P(\text{至少两人不休}) = 1 - \frac{1}{81} - \frac{8}{81} = 1 - \frac{9}{81} = \frac{72}{81} = \frac{8}{9}$

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