题目
求(x)=dfrac ((x-1)sin x)(|x|({x)^2-1)}的间断点,并说明其类型。
求
的间断点,并说明其类型。
题目解答
答案
解析:函数
在
处连续的定义为
。实际上包含三个条件
(1) 函数在处必须有定义;
(2) 函数在处的极限存在;
(3) 函数在处的极限值必须等于函数值;
当上述三个条件不全满足时的点即为函数的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的,所以,没有定义的点一定是间断点,分段函数的分段点是可能的间断点。
根据点处的极限情况来加以分类:
本题在
、
处没有定义,所以间断点有三个(也是分段点)
,
是第一类可去间断点;
,
是第二类无穷间断点;
即函数
在
处左右极限均存在但相等,是第一类跳跃间断点。
解析
考查要点：本题主要考查函数间断点的判断及其类型划分，涉及分母为零导致无定义的点、极限存在性及左右极限的关系。
解题核心思路：
- 确定无定义点：分母为零的点（$x=0, \pm 1$）。
- 分类讨论间断类型：
- 第一类间断点：左右极限存在且相等（可去），或存在但不相等（跳跃）。
- 第二类间断点：极限不存在（如趋向无穷或振荡）。
破题关键：
- 分母分解：将分母分解为$|x|(x-1)(x+1)$，明确无定义点。
- 极限计算：对每个无定义点分别计算左右极限，判断是否存在及类型。
1. 确定无定义点
分母$|x|(x^2 -1) = |x|(x-1)(x+1)$，当分母为零时，$x=0, 1, -1$，故间断点候选为$x=0, 1, -1$。
2. 分析各点间断类型
（1）$x=0$
- 左右极限计算：
- 右极限（$x \to 0^+$）：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(x-1)\sin x}{x(x^2 -1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x-1)x}{x(-1)} = 1$ - 左极限（$x \to 0^-$）：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{(x-1)\sin x}{-x(x^2 -1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x-1)x}{-x(-1)} = -1$
- 右极限（$x \to 0^+$）：
- 结论：左右极限存在但不相等，第一类跳跃间断点。
（2）$x=1$
- 极限计算：
$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)\sin x}{|x|(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{\sin x}{x(x+1)} = \frac{\sin 1}{2}$ - 结论：极限存在但函数无定义，第一类可去间断点。
（3）$x=-1$
- 极限计算：
- 右极限（$x \to -1^+$）：
$\lim_{x \to -1^+} \frac{(x-1)\sin x}{|x|(x+1)(x-1)} = \lim_{x \to -1^+} \frac{-\sin 1}{x+1} = -\infty$ - 左极限（$x \to -1^-$）：
$\lim_{x \to -1^-} \frac{(x-1)\sin x}{|x|(x+1)(x-1)} = \lim_{x \to -1^-} \frac{-\sin 1}{x+1} = +\infty$
- 右极限（$x \to -1^+$）：
- 结论：极限趋向无穷，第二类无穷间断点。