假设又知道所有站点之间的步行时间,请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。[附录1]基本参数设定相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间): 3分钟相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间): 2.5分钟公汽换乘公汽平均耗时: 5分钟(其中步行时间2分钟)地铁换乘地铁平均耗时: 4分钟(其中步行时间2分钟)地铁换乘公汽平均耗时: 7分钟(其中步行时间4分钟)公汽换乘地铁平均耗时: 6分钟(其中步行时间4分钟)公汽票价:分为单一票价与分段计价两种,标记于线路后;其中分段计价的票价为:0~20站:1元;21~40站:2元;40站以上:3元地铁票价:3元(无论地铁线路间是否换乘)注:以上参数均为简化问题而作的假设,未必与实际数据完全吻合。[附录2]公交线路及相关信息 (见数据文件B20GGdata.rar)C题:手机“套餐”优惠几何手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一,近年来通信业务量飞速增长 (见附件1) 。手机资费问题一直是人们关心的热点问题, 多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是20GG年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”,手机“套餐”的花样琳琅满目,让人眼花缭乱。人们不禁要问:手机“套餐”究竟优惠几何?请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案(见附件2),建立数学模型分研究下列问题:(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法,并针对不同(通话量)需求的用户,分说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户?(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分、比较,并给出评价。(3) 北京移动公司20GG年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案,即月租50元,本地被叫免费,其他项目资费均同现行的资费标准,还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案?并说明理由。(4) 如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况,在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。附件1 20GG年中国通信业的统计资料附件2 中国移动手机的资费方案D题:体能测试时间安排某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试,以了学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目,均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台,立定跳远、肺活量测量仪器各1台,握力和台阶试验测量仪器各2台。身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试(包括学生的转换)时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒,台阶试验每台仪器一次测试5个学生,需要3分30秒。每个学生测试每个项目前要录入个人信息,即学号,平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位,于是如果前后测试的学生学号相连,就可以省去录入时间,而同一班学生的学号是相连的。学校安排每天的测试时间为8:00-12:10与13:30-16:45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行,测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试,并且在整个测试所需时间段数最少的条件下,尽量节省学生的等待时间。请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题,给出该数学问题的算法,尽量用清晰、直观的表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划,并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。最后,请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议,并说明理由:如引进各项测量仪器的数量;测试场所的人员容量;一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。附表 参加体能测试的各班人数班号123456789101112131415人数414544442644422020383725454545班号161718192021222324252627282930人数442030393538382825303620243233班号313233343536373839404142434445人数413351392020443738394240375050班号4647484950515253545556人数424341424542193975171720GG高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A. 题 数码相机定位 B. 数码相机定位在交通监管(电子警察)等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位,即用两部相机来定位。对物体上一个特征点,用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像,分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置,就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标,即确定了特征点的位置。于是对双目定位,精确地确定两部相机的相对位置就是关键,这一过程称为系统标定。 C. 标定的一种做法是:在一块平板上画若干个点, 同时用这两部相机照相,分别得到这些点在它们像平面上的像点,利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而,无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆(称为靶标),它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形,如1所示,所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到,标定就可实现。 D. C、D、E)为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的 E. F. G. 为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心,12mm为半径作圆,如2所示。 2 靶标示意 1 靶标上圆的像用一位置固定的数码相机摄得其像,如3所示。3 靶标的像-P平面平行于像平面;(2) 对由2、3分别给出的靶标及其像,计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距(即焦点到像平面的距离)是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位),相机分辨率为1024×786;(3) 设计一种方法检验你们的模型,并对方法的精度和稳定性进行讨论;(4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。题 高等教育学费标准探讨高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局,因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标,不同的学科、专业在设定不同的培养目标后,其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育,其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生,一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助,品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。学费问题涉及到每一个大学生及其家庭,是一个敏感而又复杂的问题:过高的学费会使很多学生无力支付,过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。请你们根据中国国情,收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据,并据此通过数学建模的方法,就几类学校或专业的学费标准进行定量分,得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分是你们建模分的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分有据、结论明确。题 灾情巡视路线下为某县的乡(镇)、村公路网示意,公路边的数字为该路段的公里数。今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线。
假设又知道所有站点之间的步行时间,请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。
[附录1]基本参数设定
相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间): 3分钟
相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间): 2.5分钟
公汽换乘公汽平均耗时: 5分钟(其中步行时间2分钟)
地铁换乘地铁平均耗时: 4分钟(其中步行时间2分钟)
地铁换乘公汽平均耗时: 7分钟(其中步行时间4分钟)
公汽换乘地铁平均耗时: 6分钟(其中步行时间4分钟)
公汽票价:分为单一票价与分段计价两种,标记于线路后;其中分段计价的票价为:0~20站:1元;21~40站:2元;40站以上:3元
地铁票价:3元(无论地铁线路间是否换乘)
注:以上参数均为简化问题而作的假设,未必与实际数据完全吻合。
[附录2]公交线路及相关信息 (见数据文件B20GGdata.rar)
C题:手机“套餐”优惠几何
手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一,近年来通信业务量飞速增长 (见附件1) 。
手机资费问题一直是人们关心的热点问题, 多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是20GG年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”,手机“套餐”的花样琳琅满目,让人眼花缭乱。人们不禁要问:手机“套餐”究竟优惠几何?
请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案(见附件2),建立数学模型分研究下列问题:
(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法,并针对不同(通话量)需求的用户,分说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户?
(2) 提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分、比较,并给出评价。
(3) 北京移动公司20GG年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案,即月租50元,本地被叫免费,其他项目资费均同现行的资费标准,还要求用户至少在网一年。你们又如何评价这个方案?并说明理由。
(4) 如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况,在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。
附件1 20GG年中国通信业的统计资料
附件2 中国移动手机的资费方案
D题:体能测试时间安排
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试,以了学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目,均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台,立定跳远、肺活量测量仪器各1台,握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试(包括学生的转换)时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒,台阶试验每台仪器一次测试5个学生,需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息,即学号,平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位,于是如果前后测试的学生学号相连,就可以省去录入时间,而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8:00-12:10与13:30-16:45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行,测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试,并且在整个测试所需时间段数最少的条件下,尽量节省学生的等待时间。
请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题,给出该数学问题的算法,尽量用清晰、直观的表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划,并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后,请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议,并说明理由:如引进各项测量仪器的数量;测试场所的人员容量;一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表 参加体能测试的各班人数
班号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
人数
41
45
44
44
26
44
42
20
20
38
37
25
45
45
45
班号
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
人数
44
20
30
39
35
38
38
28
25
30
36
20
24
32
33
班号
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
人数
41
33
51
39
20
20
44
37
38
39
42
40
37
50
50
班号
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
人数
42
43
41
42
45
42
19
39
75
17
17
20GG高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
A. 题 数码相机定位B. 数码相机定位在交通监管(电子警察)等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位,即用两部相机来定位。对物体上一个特征点,用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像,分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置,就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标,即确定了特征点的位置。于是对双目定位,精确地确定两部相机的相对位置就是关键,这一过程称为系统标定。
C. 标定的一种做法是:在一块平板上画若干个点, 同时用这两部相机照相,分别得到这些点在它们像平面上的像点,利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而,无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆(称为靶标),它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形,如1所示,所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到,标定就可实现。
D. C、D、E)为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的
E.
F.
G. 为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心,12mm为半径作圆,如2所示。
2 靶标示意 1 靶标上圆的像
用一位置固定的数码相机摄得其像,如3所示。
3 靶标的像
-P平面平行于像平面;
(2) 对由2、3分别给出的靶标及其像,计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距(即焦点到像平面的距离)是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位),相机分辨率为1024×786;
(3) 设计一种方法检验你们的模型,并对方法的精度和稳定性进行讨论;
(4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
题 高等教育学费标准探讨
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局,因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标,不同的学科、专业在设定不同的培养目标后,其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育,其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生,一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助,品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭,是一个敏感而又复杂的问题:过高的学费会使很多学生无力支付,过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。
请你们根据中国国情,收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据,并据此通过数学建模的方法,就几类学校或专业的学费标准进行定量分,得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分是你们建模分的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分有据、结论明确。
题 灾情巡视路线
下为某县的乡(镇)、村公路网示意,公路边的数字为该路段的公里数。
今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线。
题目解答
答案
A 题 数码相机定位 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如 1 所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为 A 、 C 、 D 、 E ）为圆心， 12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm 处的 B 为圆心， 12mm 为半径作圆，如 2 所示。 2 靶标示意 1 靶标上圆的像 用一位置固定的数码相机摄得其像，如 3 所示。 3 靶标的像 (1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标 , 这里坐标系原点取在该相机的焦点， G-P 平面平行于像平面； (2) 对由 2 、 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标 , 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是 1577 个像素单位 ( 1 毫米 约为 3.78 个像素单位 ) ，相机分辨率为 1024 × 786 ； (3) 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； (4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 B 题 高等教育学费标准探讨 高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。 学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。 请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分是你们建模分的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分有据、结论明确。 B 题 灾情巡视路线 下为某县的乡（镇）、村公路网示意，公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。