设 A 为 n 阶方阵，lambda_1, lambda_2 是 A 的特征值，alpha_1, alpha_2 是 A 的分别对应于 lambda_1, lambda_2 的特征向量，则 A 当 lambda_1 = lambda_2 时，alpha_1, alpha_2 一定不成比例 B 当 lambda_1 = lambda_2 时，alpha_1, alpha_2 一定成比例 C 当 lambda_1 neq lambda_2 时，alpha_1, alpha_2 一定不成比例 D 当 lambda_1 neq lambda_2 时，alpha_1, alpha_2 一定成比例

为了确定正确答案，我们需要分析特征值和特征向量的性质。让我们一步步来分析。 1. **理解特征值和特征向量：** - 如果 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵，那么一个非零向量 $ \alpha $ 是 $ A $ 的特征向量，如果存在一个标量 $ \lambda $ 使得 $ A\alpha = \lambda\alpha $。标量 $ \lambda $ 被称为特征值。 2. **不同特征值的特征向量：** - 如果 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 是 $ A $ 的不同特征值，且 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 分别是对应的特征向量，那么 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 是线性无关的。这意味着 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 不成比例。 3. **相同特征值的特征向量：** - 如果 $ \lambda_1 = \lambda_2 $，那么 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 可以是成比例的（如果它们是相同特征子空间的基向量的标量倍数），但它们也可以是线性无关的（如果它们是对应于特征值的代数重数大于1的特征子空间的基向量）。 根据这些性质，我们可以分析选项： A. 当 $ \lambda_1 = \lambda_2 $ 时，$ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 一定不成比例。 - 这不一定正确。如果 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 是相同特征子空间的基向量的标量倍数，那么它们是成比例的。 B. 当 $ \lambda_1 = \lambda_2 $ 时，$ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 一定成比例。 - 这也不一定正确。如果 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 是对应于特征值的代数重数大于1的特征子空间的基向量，那么它们是线性无关的。 C. 当 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $ 时，$ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 一定不成比例。 - 这是正确的。如果 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 是不同的特征值，那么对应的特征向量 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 是线性无关的，因此不成比例。 D. 当 $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $ 时，$ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 一定成比例。 - 这是错误的。如果 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 是不同的特征值，那么对应的特征向量 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 是线性无关的，因此不成比例。 因此，正确答案是 $\boxed{C}$。