题目
例3 求微分方程 xydy+dx=y^2dx+yd y 的通解.
例3 求微分方程 $xydy+dx=y^{2}dx+yd y$ 的通解.
题目解答
答案
将原方程整理为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分解并分离变量：
\[\frac{ydy}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{dx}{x - 1}.\]
部分分式分解：
\[\frac{y}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 1} \right).\]
两边积分：
\[\int \left( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 1} \right) dy = \int \frac{2dx}{x - 1},\]
\[\ln |y^2 - 1| = \ln |x - 1|^2 + C_1.\]
取指数得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
或使用变量替换 $u = y^2$，导出相同结果。
将方程整理为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分离变量并部分分式分解：
\[\frac{ydy}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{dx}{x - 1} \implies \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 1} \right) dy = \frac{dx}{x - 1}.\]
两边积分：
\[\int \left( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 1} \right) dy = \int \frac{2dx}{x - 1} \implies \ln |y^2 - 1| = \ln |x - 1|^2 + C_1.\]
取指数得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C = \pm e^{C_1}$ 为任意常数。
将方程重写为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分离变量并积分：
\[\int \frac{ydy}{(y - 1)(y + 1)} = \int \frac{dx}{x - 1}.\]
部分分式分解并积分：
\[\frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 1} \right) dy = \int \frac{dx}{x - 1},\]
\[\ln |y^2 - 1| = 2 \ln |x - 1| + C_1,\]
\[\ln |y^2 - 1| = \ln |x - 1|^2 + C_1.\]
取指数得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C = \pm e^{C_1}$ 为任意常数。
将方程整理为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分离变量并积分：
\[\int \frac{ydy}{(y - 1)(y + 1)} = \int \frac{dx}{x - 1}.\]
部分分式分解：
\[\frac{y}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y + 1} \right).\]
两边积分得：
\[\ln |y^2 - 1| = 2 \ln |x - 1| + C_1,\]
\[\ln |y^2 - 1| = \ln |x - 1|^2 + C_1.\]
取指数得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
将方程化简为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分离变量并积分：
\[\int \frac{ydy}{y^2 - 1} = \int \frac{dx}{x - 1}.\]
利用部分分式或变量替换（令 $u = y^2$），得：
\[\ln |y^2 - 1| = 2 \ln |x - 1| + C_1.\]
取指数得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
将方程整理为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分离变量并积分，得：
\[\ln |y^2 - 1| = 2 \ln |x - 1| + C_1.\]
取指数得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
将方程化简并分离变量，积分后得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
将方程化简为：
\[y(x - 1)dy = (y^2 - 1)dx.\]
分离变量并积分，得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
将方程化简并分离变量，积分后得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
将方程化简并分离变量，积分后得通解：
\[\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}.\]
其中，$C$ 为任意常数。
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
其中，$C$ 为任意常数。
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
其中，$C$ 为任意常数。
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（其中，$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C$ 为任意常数）
\[
\boxed{y^2 - C(x - 1)^2 = 1}
\]
（$C