填空lim e^(-x)sinnxdx = ()

步骤 1：应用分部积分法
根据分部积分法，我们有：
$$
\int e^{-x}\sin nxdx = -\int \sin nxd(e^{-x}) = -e^{-x}\sin nx + \int e^{-x}n\cos nxdx
$$
步骤 2：再次应用分部积分法
对上式中的积分项再次应用分部积分法，我们有：
$$
\int e^{-x}n\cos nxdx = -\int n\cos nxd(e^{-x}) = -ne^{-x}\cos nx - \int e^{-x}n^2\sin nxdx
$$
步骤 3：组合结果
将步骤 2 的结果代入步骤 1，我们得到：
$$
\int e^{-x}\sin nxdx = -e^{-x}\sin nx - ne^{-x}\cos nx - n^2\int e^{-x}\sin nxdx
$$
步骤 4：求解积分
将上式中的积分项移项，我们得到：
$$
(1+n^2)\int e^{-x}\sin nxdx = -e^{-x}\sin nx - ne^{-x}\cos nx
$$
从而：
$$
\int e^{-x}\sin nxdx = \frac{-e^{-x}\sin nx - ne^{-x}\cos nx}{1+n^2}
$$
步骤 5：求极限
求上述积分的极限，我们有：
$$
\lim_{x\to\infty} \int e^{-x}\sin nxdx = \lim_{x\to\infty} \frac{-e^{-x}\sin nx - ne^{-x}\cos nx}{1+n^2} = 0
$$