填空lim e^(-x)sinnxdx = ()

考查要点：本题主要考查定积分与极限的结合应用，涉及分部积分法和极限的计算。关键在于通过分部积分将原积分转化为自身的形式，进而解方程求出积分表达式，最后分析其极限。

解题核心思路：

1. 分部积分法：通过两次分部积分，将原积分表达式转化为关于自身的方程，解出积分结果。
2. 极限分析：对积分结果进行化简，分析分子和分母的最高次项，利用无穷大分式极限法则判断结果趋向于0。

破题关键点：

• 正确选择分部积分的分项，确保计算过程中符号和积分限的准确性。
• 识别分子和分母的最高次项，简化极限表达式。

步骤1：分部积分第一次
设 $u = \sin nx$，则 $du = n \cos nx \, dx$；设 $dv = e^{-x} dx$，则 $v = -e^{-x}$。
分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 得：
$\begin{aligned}\int_0^1 e^{-x} \sin nx \, dx &= \left. -e^{-x} \sin nx \right|_0^1 + n \int_0^1 e^{-x} \cos nx \, dx \\&= -e^{-1} \sin n + n \int_0^1 e^{-x} \cos nx \, dx.\end{aligned}$

步骤2：分部积分第二次
对 $\int_0^1 e^{-x} \cos nx \, dx$ 再次分部积分，设 $u = \cos nx$，则 $du = -n \sin nx \, dx$；$dv = e^{-x} dx$，则 $v = -e^{-x}$。
分部积分得：
$\begin{aligned}\int_0^1 e^{-x} \cos nx \, dx &= \left. -e^{-x} \cos nx \right|_0^1 - n \int_0^1 e^{-x} \sin nx \, dx \\&= -e^{-1} \cos n + e^{0} \cos 0 - n \int_0^1 e^{-x} \sin nx \, dx \\&= -e^{-1} \cos n + 1 - n \int_0^1 e^{-x} \sin nx \, dx.\end{aligned}$

步骤3：联立方程求解
将第二次分部积分的结果代入第一次的结果中，设原积分为 $I$，则：
$\begin{aligned}I &= -e^{-1} \sin n + n \left[ -e^{-1} \cos n + 1 - n I \right] \\&= -e^{-1} \sin n - n e^{-1} \cos n + n - n^2 I.\end{aligned}$
整理得：
$I (1 + n^2) = -e^{-1} \sin n - n e^{-1} \cos n + n.$
因此：
$I = \frac{-e^{-1} \sin n - n e^{-1} \cos n + n}{1 + n^2}.$

步骤4：计算极限
当 $n \to \infty$ 时，分子中最高次项为 $n$，分母为 $n^2$，故：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$
由于分子其他项的绝对值均小于 $n$，整体极限为 $0$。