题目
10.（填空题，10.0分）设连续型随机变量X~U(0,2)（均匀分布），其概率密度为f_(X)(x)=}(1)/(2),0<2,0,其他(y)=____。
10.（填空题，10.0分）
设连续型随机变量X~U(0,2)（均匀分布），其概率密度为$f_{X}(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},0<2,\\0,其他\end{cases}$，令Y=3X-1，则Y的概率密度$f_{Y}(y)$在y∈(-1,5)内的表达式为$f_{Y}(y)$=____。
题目解答
答案
设 $ X \sim U(0, 2) $，其概率密度函数为 $ f_X(x) = \frac{1}{2} $（当 $ 0 < x < 2 $）。令 $ Y = 3X - 1 $，则 $ Y $ 的取值范围为 $ (-1, 5) $。
利用概率密度函数的变换公式，得
\[
f_Y(y) = f_X\left(\frac{y + 1}{3}\right) \left| \frac{d}{dy} \left(\frac{y + 1}{3}\right) \right| = \frac{1}{3} f_X\left(\frac{y + 1}{3}\right)
\]
由于 $ f_X\left(\frac{y + 1}{3}\right) = \frac{1}{2} $（当 $ 0 < \frac{y + 1}{3} < 2 $，即 $ -1 < y < 5 $），故
\[
f_Y(y) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}
\]
因此，$ Y $ 的概率密度函数在 $ y \in (-1, 5) $ 内的表达式为
\[
\boxed{\frac{1}{6}}
\]
解析
本题考查连续型随机变量函数的概率密度求解，解题思路是利用随机变量函数的概率密度变换公式来计算$Y = 3X - 1$的概率密度$f_Y(y)$。
- 首先明确已知条件：
- 已知连续型随机变量$X\sim U(0,2)$，其概率密度为$f_{X}(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},&0 < x < 2\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
- 设$Y = 3X - 1$，这是一个单调可导函数，其反函数为$X=\frac{Y + 1}{3}$。
- 然后根据随机变量函数的概率密度变换公式：
- 若$Y = g(X)$是单调可导函数，其反函数为$X = h(Y)$，则$Y$的概率密度$f_Y(y)=f_X(h(y))\left|\frac{d}{dy}h(y)\right|$。
- 对于$Y = 3X - 1$，反函数$h(y)=\frac{y + 1}{3}$，对$h(y)$求导，根据求导公式$(ax + b)^\prime=a$，可得$\frac{d}{dy}h(y)=\frac{d}{dy}(\frac{y + 1}{3})=\frac{1}{3}$。
- 所以$f_Y(y)=f_X(\frac{y + 1}{3})\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}f_X(\frac{y + 1}{3})$。
- 接着确定$y$的取值范围：
- 已知$0 < x < 2$，将$x=\frac{y + 1}{3}$代入不等式，得到$0<\frac{y + 1}{3}<2$。
- 解不等式$0<\frac{y + 1}{3}$，两边同时乘以$3$得$0
-1$。 - 解不等式$\frac{y + 1}{3}<2$，两边同时乘以$3$得$y + 1<6$，即$y<5$。
- 所以当$-1 < y < 5$时，$f_X(\frac{y + 1}{3})=\frac{1}{2}$。
- 最后计算$f_Y(y)$：
- 把$f_X(\frac{y + 1}{3})=\frac{1}{2}$代入$f_Y(y)=\frac{1}{3}f_X(\frac{y + 1}{3})$，可得$f_Y(y)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。