题目
14 单选(4分)下列偏导数计算错误的是 () .-|||-A.-|||-==((x)^2+(y)^2)(e)^x 则 _(x)=2x(e)^x+((x)^2+(y)^2)(e)^x-|||-B. ==((x)^2+(y)^2)ln xy 则 _(1)=2xln xy+x+dfrac ({y)^2}(x)-|||-C. =ln (x+sqrt ({x)^2+(y)^2}), 则 dfrac (partial z)(partial x)|(0,2)=dfrac (1)(sqrt {{x)^2+(y)^2}}-|||-D. (x,y)=(x)^2(y)^3, 则 dfrac (partial f)(partial x)=2x(y)^3
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算偏导数 ${z}_{x}$
对于 $z=(x^2+y^2)e^x$，根据乘积法则，偏导数 ${z}_{x}$ 可以表示为：
${z}_{x} = \frac{\partial}{\partial x}[(x^2+y^2)e^x] = (2x)e^x + (x^2+y^2)e^x$
步骤 2：计算偏导数 ${z}_{z}$
对于 $z=(x^2+y^2)\ln(xy)$，根据乘积法则，偏导数 ${z}_{z}$ 可以表示为：
${z}_{z} = \frac{\partial}{\partial x}[(x^2+y^2)\ln(xy)] = 2x\ln(xy) + (x^2+y^2)\frac{1}{xy}y = 2x\ln(xy) + x + \frac{y^2}{x}$
步骤 3：计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
对于 $z=\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$，根据链式法则，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 可以表示为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$
步骤 4：计算偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$
对于 $f(x,y)=x^2y^3$，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 可以表示为：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$
步骤 5：验证偏导数计算的正确性
A. ${z}_{x}=2x{e}^{x}+({x}^{2}+{y}^{2}){e}^{x}$ 正确
B. ${z}_{z}=2x\ln xy+x+\dfrac {{y}^{2}}{x}$ 正确
C. $\dfrac {\partial z}{\partial x}|(0,2)=\dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$ 错误，因为 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$，在 $(0,2)$ 处，$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}$
D. $\dfrac {\partial f}{\partial x}=2x{y}^{3}$ 正确
对于 $z=(x^2+y^2)e^x$，根据乘积法则，偏导数 ${z}_{x}$ 可以表示为：
${z}_{x} = \frac{\partial}{\partial x}[(x^2+y^2)e^x] = (2x)e^x + (x^2+y^2)e^x$
步骤 2：计算偏导数 ${z}_{z}$
对于 $z=(x^2+y^2)\ln(xy)$，根据乘积法则，偏导数 ${z}_{z}$ 可以表示为：
${z}_{z} = \frac{\partial}{\partial x}[(x^2+y^2)\ln(xy)] = 2x\ln(xy) + (x^2+y^2)\frac{1}{xy}y = 2x\ln(xy) + x + \frac{y^2}{x}$
步骤 3：计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
对于 $z=\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$，根据链式法则，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 可以表示为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$
步骤 4：计算偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$
对于 $f(x,y)=x^2y^3$，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 可以表示为：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$
步骤 5：验证偏导数计算的正确性
A. ${z}_{x}=2x{e}^{x}+({x}^{2}+{y}^{2}){e}^{x}$ 正确
B. ${z}_{z}=2x\ln xy+x+\dfrac {{y}^{2}}{x}$ 正确
C. $\dfrac {\partial z}{\partial x}|(0,2)=\dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$ 错误，因为 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$，在 $(0,2)$ 处，$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}$
D. $\dfrac {\partial f}{\partial x}=2x{y}^{3}$ 正确