题目

求直线x+2y=6与两坐标轴所围成的三角形均匀薄片的质心.解：overline(x)=((1))/(iintlimits_(D)rho dsigma)=((2))/(int_(0)^6dxint_{0)^(1)/(2)(6-x)dy}=((3))/((4))=(5),overline(y)=((6))/(iintlimits_(D)rho dsigma)=((7))/(int_(0)^6dxint_{0)^(1)/(2)(6-x)dy}=((8))/((9))=(10)所以薄片的质心坐标为((11)，(12))

求直线x+2y=6与两坐标轴所围成的三角形均匀薄片的质心. 解：$\overline{x}=\frac{(1)}{\iint\limits_{D}\rho d\sigma}=\frac{(2)}{\int_{0}^{6}dx\int_{0}^{\frac{1}{2}(6-x)}dy}=\frac{(3)}{(4)}=(5),$ $\overline{y}=\frac{(6)}{\iint\limits_{D}\rho d\sigma}=\frac{(7)}{\int_{0}^{6}dx\int_{0}^{\frac{1}{2}(6-x)}dy}=\frac{(8)}{(9)}=(10)$ 所以薄片的质心坐标为((11)，(12))

题目解答

答案

为了求出直线 $x + 2y = 6$ 与两坐标轴所围成的三角形均匀薄片的质心，我们需要计算质心的 $x$-坐标和 $y$-坐标。均匀薄片的质心由以下公式给出： \[ \overline{x} = \frac{\iint_D x \rho \, dA}{\iint_D \rho \, dA}, \quad \overline{y} = \frac{\iint_D y \rho \, dA}{\iint_D \rho \, dA} \] 由于薄片是均匀的，我们可以取 $\rho = 1$。因此，公式简化为： \[ \overline{x} = \frac{\iint_D x \, dA}{\iint_D \, dA}, \quad \overline{y} = \frac{\iint_D y \, dA}{\iint_D \, dA} \] 首先，我们需要找到区域 $D$ 的面积。区域 $D$ 是由直线 $x + 2y = 6$ 与 $x$-轴和 $y$-轴所围成的三角形。直线 $x + 2y = 6$ 与 $x$-轴的交点是 $(6, 0)$，与 $y$-轴的交点是 $(0, 3)$。三角形的面积 $A$ 为： \[ A = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \] 现在，我们计算 $\iint_D x \, dA$。我们使用直角坐标系中的二重积分，其中 $y$ 的范围从 $0$ 到 $\frac{1}{2}(6 - x)$，$x$ 的范围从 $0$ 到 $6$： \[ \iint_D x \, dA = \int_0^6 \int_0^{\frac{1}{2}(6 - x)} x \, dy \, dx \] 首先，我们对 $y$ 积分： \[ \int_0^{\frac{1}{2}(6 - x)} x \, dy = x \left[ y \right]_0^{\frac{1}{2}(6 - x)} = x \cdot \frac{1}{2}(6 - x) = \frac{1}{2} x (6 - x) = 3x - \frac{1}{2} x^2 \] 接下来，我们对 $x$ 积分： \[ \int_0^6 \left( 3x - \frac{1}{2} x^2 \right) \, dx = \left[ \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{6} x^3 \right]_0^6 = \left( \frac{3}{2} \cdot 6^2 - \frac{1}{6} \cdot 6^3 \right) - 0 = \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - \frac{1}{6} \cdot 216 \right) = 54 - 36 = 18 \] 因此，$\overline{x}$ 为： \[ \overline{x} = \frac{\iint_D x \, dA}{\iint_D \, dA} = \frac{18}{9} = 2 \] 接下来，我们计算 $\iint_D y \, dA$： \[ \iint_D y \, dA = \int_0^6 \int_0^{\frac{1}{2}(6 - x)} y \, dy \, dx \] 首先，我们对 $y$ 积分： \[ \int_0^{\frac{1}{2}(6 - x)} y \, dy = \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^{\frac{1}{2}(6 - x)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(6 - x) \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} (6 - x)^2 = \frac{1}{8} (6 - x)^2 \] 接下来，我们对 $x$ 积分： \[ \int_0^6 \frac{1}{8} (6 - x)^2 \, dx = \frac{1}{8} \int_0^6 (6 - x)^2 \, dx \] 设 $u = 6 - x$，则 $du = -dx$，当 $x = 0$ 时，$u = 6$，当 $x = 6$ 时，$u = 0$。因此，积分变为： \[ \frac{1}{8} \int_6^0 u^2 (-du) = \frac{1}{8} \int_0^6 u^2 \, du = \frac{1}{8} \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_0^6 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \cdot 6^3 = \frac{1}{24} \cdot 216 = 9 \] 因此，$\overline{y}$ 为： \[ \overline{y} = \frac{\iint_D y \, dA}{\iint_D \, dA} = \frac{9}{9} = 1 \] 所以，薄片的质心坐标为 $\boxed{(2, 1)}$。

解析

考查要点：本题主要考查均匀薄片质心的计算，涉及二重积分的应用及三角形区域的积分计算。

解题核心思路：

确定区域：直线与坐标轴围成的三角形顶点为$(0,0)$、$(6,0)$、$(0,3)$，面积为$9$。
质心公式：均匀薄片的质心坐标$\overline{x}$和$\overline{y}$分别由$\frac{\iint_D x \, dA}{\iint_D dA}$和$\frac{\iint_D y \, dA}{\iint_D dA}$计算。
积分计算：通过直角坐标系的二重积分，分步计算分子和分母。

破题关键点：

区域描述：明确积分限，$x$从$0$到$6$，$y$从$0$到$\frac{1}{2}(6-x)$。
积分技巧：先对$y$积分简化表达式，再对$x$积分；利用变量代换处理复杂项。

步骤1：计算分母$\iint_D dA$（面积）

三角形面积为：
$A = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

步骤2：计算$\overline{x}$

积分$\iint_D x \, dA$

$\begin{aligned}\iint_D x \, dA &= \int_0^6 \int_0^{\frac{1}{2}(6-x)} x \, dy \, dx \\&= \int_0^6 x \cdot \frac{1}{2}(6-x) \, dx \\&= \int_0^6 \left(3x - \frac{1}{2}x^2\right) dx \\&= \left[ \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 \right]_0^6 = 18\end{aligned}$

求$\overline{x}$

$\overline{x} = \frac{18}{9} = 2$

步骤3：计算$\overline{y}$

积分$\iint_D y \, dA$

$\begin{aligned}\iint_D y \, dA &= \int_0^6 \int_0^{\frac{1}{2}(6-x)} y \, dy \, dx \\&= \int_0^6 \frac{1}{8}(6-x)^2 \, dx \\&= \frac{1}{8} \int_0^6 (6-x)^2 \, dx \quad (\text{令} \, u = 6-x) \\&= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \cdot 6^3 = 9\end{aligned}$

求$\overline{y}$

$\overline{y} = \frac{9}{9} = 1$