(8) (int )_(0)^1(x)^2sqrt (1-{x)^2}dx :

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角替换法处理含根号的积分，以及运用三角恒等式和降幂公式简化积分表达式。

解题核心思路：

1. 三角替换：当积分中含有$\sqrt{1-x^2}$时，通常令$x = \sin\theta$，将根号转化为$\cos\theta$，简化积分形式。
2. 恒等变形：将$\sin^2\theta \cos^2\theta$转化为$\left(\frac{1}{2}\sin2\theta\right)^2$，进一步利用降幂公式$\sin^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}$简化积分。
3. 定积分计算：通过分部积分或直接求原函数，结合三角函数的周期性求出最终结果。

破题关键点：

• 变量替换的选择：正确选择$x = \sin\theta$，并确定积分限$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$。
• 恒等式的灵活应用：将复杂的三角函数表达式转化为更易积分的形式。
• 积分公式的熟练运用：如降幂公式和基本三角函数的积分结果。

步骤1：变量替换
令$x = \sin\theta$，则$dx = \cos\theta d\theta$。当$x$从$0$到$1$时，$\theta$从$0$到$\frac{\pi}{2}$。原积分变为：
$\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \cdot \cos\theta \cdot \cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta.$

步骤2：三角恒等变形
利用$\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$，将被积函数化简为：
$\sin^2\theta \cos^2\theta = \left(\sin\theta \cos\theta\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin2\theta\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\theta.$

步骤3：应用降幂公式
利用$\sin^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}$，进一步化简：
$\frac{1}{4}\sin^2 2\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1-\cos4\theta}{2} = \frac{1}{8}(1-\cos4\theta).$

步骤4：分项积分
将积分拆分为两部分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{8}(1-\cos4\theta) d\theta = \frac{1}{8} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos4\theta d\theta \right).$

步骤5：逐项计算

1. 第一项：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = \frac{\pi}{2}$。
2. 第二项：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos4\theta d\theta = \frac{1}{4}\sin4\theta \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}(\sin2\pi - \sin0) = 0$。

步骤6：合并结果
最终结果为：
$\frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{16}.$