20.（填空题，3.0分）方程(dy)/(dx)+(1)/(x)y=(sin x)/(x)满足初始条件y|_(x=1)=1的特解是____.

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，包括积分因子法的应用和初始条件的使用。

解题核心思路：

1. 识别方程形式：确认方程为一阶线性微分方程，标准形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
2. 计算积分因子：利用公式 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$ 求出积分因子。
3. 方程变形与求解：将方程两边乘以积分因子，转化为全微分方程后积分求解。
4. 代入初始条件：确定积分常数，得到特解。

破题关键点：

• 正确计算积分因子：注意积分 $\int \frac{1}{x} dx$ 的结果为 $\ln|x|$，从而得到积分因子为 $x$。
• 方程变形后的积分：识别出左边为 $\frac{d}{dx}(xy)$，简化积分过程。

步骤1：确认方程形式
方程 $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{\sin x}{x}$ 已经是一阶线性微分方程的标准形式，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin x}{x}$。

步骤2：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x.$

步骤3：方程变形
将方程两边乘以积分因子 $x$：
$x \frac{dy}{dx} + y = \sin x.$
左边可化简为：
$\frac{d}{dx}(xy) = \sin x.$

步骤4：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int \sin x dx \implies xy = -\cos x + C.$
解得通解：
$y = \frac{-\cos x + C}{x}.$

步骤5：代入初始条件
当 $x=1$ 时，$y=1$，代入得：
$1 = \frac{-\cos 1 + C}{1} \implies C = 1 + \cos 1.$

步骤6：写出特解
将 $C$ 代入通解，得到特解：
$y = \frac{1 + \cos 1 - \cos x}{x}.$