题目
16.设函数g(x)在 x=0 的某领域内连续,且当 neq 0 时, dfrac (g(x))(x)gt 0, lim _(xarrow 0)dfrac (g(x))(x)=1, 有设-|||-f(x)在该领域内存在二阶导数且满足 ^2f''(x)-((f'(x)))^2=dfrac (1)(4)xg(x)-|||-则 x=0 是f(x)的 ()-|||-A.驻点,但不是极值点-|||-B.极小值点-|||-C.极大值点-|||-D.极值点或仅是驻点,要由具体的g(x)确定
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析给定条件
题目给出的条件是：函数g(x)在x=0的某领域内连续，且当$x\neq 0$时，$\dfrac {g(x)}{x}\gt 0$，同时$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {g(x)}{x}=1$。这意味着g(x)在x=0附近是正的，并且g(x)与x的比值在x趋近于0时趋近于1。
步骤 2：分析f(x)的二阶导数条件
题目还给出f(x)在该领域内存在二阶导数且满足${x}^{2}f''(x)-{(f'(x))}^{2}=\dfrac {1}{4}xg(x)$。这个条件可以用来分析f(x)在x=0处的性质。
步骤 3：分析f(x)在x=0处的性质
将x=0代入上述条件，得到${0}^{2}f''(0)-{(f'(0))}^{2}=\dfrac {1}{4}\cdot 0\cdot g(0)$，即${(f'(0))}^{2}=0$，因此$f'(0)=0$。这意味着x=0是f(x)的驻点。
步骤 4：分析f(x)在x=0处的二阶导数
为了判断x=0是否是极值点，我们需要进一步分析f(x)在x=0处的二阶导数。根据给定条件，当$x\neq 0$时，${x}^{2}f''(x)-{(f'(x))}^{2}=\dfrac {1}{4}xg(x)$。由于$\dfrac {g(x)}{x}\gt 0$，则$\dfrac {1}{4}xg(x)\gt 0$，因此${x}^{2}f''(x)-{(f'(x))}^{2}\gt 0$。当x趋近于0时，${(f'(x))}^{2}$趋近于0，因此${x}^{2}f''(x)\gt 0$，这意味着$f''(0)\gt 0$。因此，x=0是f(x)的极小值点。
题目给出的条件是：函数g(x)在x=0的某领域内连续，且当$x\neq 0$时，$\dfrac {g(x)}{x}\gt 0$，同时$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {g(x)}{x}=1$。这意味着g(x)在x=0附近是正的，并且g(x)与x的比值在x趋近于0时趋近于1。
步骤 2：分析f(x)的二阶导数条件
题目还给出f(x)在该领域内存在二阶导数且满足${x}^{2}f''(x)-{(f'(x))}^{2}=\dfrac {1}{4}xg(x)$。这个条件可以用来分析f(x)在x=0处的性质。
步骤 3：分析f(x)在x=0处的性质
将x=0代入上述条件，得到${0}^{2}f''(0)-{(f'(0))}^{2}=\dfrac {1}{4}\cdot 0\cdot g(0)$，即${(f'(0))}^{2}=0$，因此$f'(0)=0$。这意味着x=0是f(x)的驻点。
步骤 4：分析f(x)在x=0处的二阶导数
为了判断x=0是否是极值点，我们需要进一步分析f(x)在x=0处的二阶导数。根据给定条件，当$x\neq 0$时，${x}^{2}f''(x)-{(f'(x))}^{2}=\dfrac {1}{4}xg(x)$。由于$\dfrac {g(x)}{x}\gt 0$，则$\dfrac {1}{4}xg(x)\gt 0$，因此${x}^{2}f''(x)-{(f'(x))}^{2}\gt 0$。当x趋近于0时，${(f'(x))}^{2}$趋近于0，因此${x}^{2}f''(x)\gt 0$，这意味着$f''(0)\gt 0$。因此，x=0是f(x)的极小值点。