下列函数中，既有水平渐近线，又有垂直渐近线的是（）。A. =xsin dfrac (1)(x)A. =xsin dfrac (1)(x)A. =xsin dfrac (1)(x)A. =xsin dfrac (1)(x)

考查要点：本题主要考查函数的水平渐近线和垂直渐近线的判断方法，需要结合极限的计算进行分析。

解题核心思路：

1. 水平渐近线：当$x \to \pm\infty$时，若$\lim f(x) = c$，则$y = c$为水平渐近线。
2. 垂直渐近线：当$x \to a$时，若$\lim f(x) \to \pm\infty$，则$x = a$为垂直渐近线。
3. 关键点：对每个选项分别计算$x \to \infty$和$x \to 0$时的极限，判断渐近线的存在性。

选项A：$y = x \sin \dfrac{1}{x}$

• 水平渐近线：
  当$x \to \infty$时，$\sin \dfrac{1}{x} \approx \dfrac{1}{x}$，故$\lim_{x \to \infty} x \cdot \dfrac{1}{x} = 1$，存在水平渐近线$y = 1$。
• 垂直渐近线：
  当$x \to 0$时，$\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1, 1]$间振荡，但$x \to 0$，故$\lim_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} = 0$，无垂直渐近线。

选项B：$y = \dfrac{1}{x} \sin x$

• 水平渐近线：
  当$x \to \infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，$\sin x$有界，故$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$，存在水平渐近线$y = 0$。
• 垂直渐近线：
  当$x \to 0$时，$\sin x \approx x$，故$\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1$，无垂直渐近线。

选项C：$y = \dfrac{1}{x} + \sin \dfrac{1}{x}$

• 水平渐近线：
  当$x \to \infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，$\sin \dfrac{1}{x} \to 0$，故$\lim_{x \to \infty} \left( \dfrac{1}{x} + \sin \dfrac{1}{x} \right) = 0$，存在水平渐近线$y = 0$。
• 垂直渐近线：
  当$x \to 0^+$时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，$\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1, 1]$间振荡，故$\lim_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x} + \sin \dfrac{1}{x} \right) = +\infty$；
  当$x \to 0^-$时，$\dfrac{1}{x} \to -\infty$，$\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1, 1]$间振荡，故$\lim_{x \to 0^-} \left( \dfrac{1}{x} + \sin \dfrac{1}{x} \right) = -\infty$。
  因此，存在垂直渐近线$x = 0$。

选项D：$y = \dfrac{1}{x} \sin \dfrac{1}{x}$

• 水平渐近线：
  当$x \to \infty$时，$\sin \dfrac{1}{x} \approx \dfrac{1}{x}$，故$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{x} = 0$，存在水平渐近线$y = 0$。
• 垂直渐近线：
  当$x \to 0$时，$\dfrac{1}{x} \to \infty$，$\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1, 1]$间振荡，但极限不存在（振荡发散），故无垂直渐近线。