1.求下列微分方程的通解:-|||-(1) dfrac (dy)(dx)+y=(e)^-x;

题目1分析

本题考查一阶线性非齐次微分方程的通解求解，方程形式为$\fracfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，此处$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$，并非齐次方程（原答案中“知识点:齐次方程”有误，应为一阶线性非齐次方程）。

解题步骤

1：一阶线性微分方程通解公式
一阶线性非齐次微分方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的通解公式为：
$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$

步骤2：计算积分

• 先算$e^{-\int P(x)dx}$：$\int P(x)dx=int 1dx=x，故$e^{-\int P(x)dx}=e^{-x}$。
• 再算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：$Q(x)e^{\int P(x)dx}=e^{-x}\cdot e^x=1$，积分得int 1dx=x$。

步骤3：代入公式得通解

$y=e^{-x}(x+C)$