题目
方程 xy' - y ln y = 0 的通解为(）.A. y = e^xB. y = Ce^xC. y = e^CxD. y = e^x + C
方程 $xy' - y \ln y = 0$ 的通解为(）.
A. $y = e^x$
B. $y = Ce^x$
C. $y = e^{Cx}$
D. $y = e^x + C$
题目解答
答案
C. $y = e^{Cx}$
解析
步骤 1：分离变量
给定方程为 $xy' - y \ln y = 0$，可以重写为 $y' = \frac{y \ln y}{x}$。这是一个可分离变量的微分方程，可以写成 $\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对两边积分，得到 $\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{dx}{x}$。左边的积分可以通过代换 $u = \ln y$，$du = \frac{1}{y}dy$ 来解决，从而得到 $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$。右边的积分是 $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。因此，我们有 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，其中 $C = C_1 - C_2$ 是常数。
步骤 3：求解 $y$
从 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，可以得到 $|\ln y| = e^{\ln|x| + C} = e^{\ln|x|}e^C = C'x$，其中 $C' = e^C$。因此，$\ln y = C'x$ 或 $\ln y = -C'x$。由于 $C'$ 是任意常数，我们可以将其重写为 $C$，从而得到 $y = e^{Cx}$。
给定方程为 $xy' - y \ln y = 0$，可以重写为 $y' = \frac{y \ln y}{x}$。这是一个可分离变量的微分方程，可以写成 $\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$。
步骤 2：积分
对两边积分，得到 $\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \frac{dx}{x}$。左边的积分可以通过代换 $u = \ln y$，$du = \frac{1}{y}dy$ 来解决，从而得到 $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1$。右边的积分是 $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。因此，我们有 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，其中 $C = C_1 - C_2$ 是常数。
步骤 3：求解 $y$
从 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，可以得到 $|\ln y| = e^{\ln|x| + C} = e^{\ln|x|}e^C = C'x$，其中 $C' = e^C$。因此，$\ln y = C'x$ 或 $\ln y = -C'x$。由于 $C'$ 是任意常数，我们可以将其重写为 $C$，从而得到 $y = e^{Cx}$。