题目

n阶矩阵 A,B 满足A+2B=AB(1) 证明 A−2E 可逆并求出其逆矩阵;(2) 证明AB=BA

n阶矩阵 A,B 满足A+2B=AB

(1) 证明 A−2E 可逆并求出其逆矩阵;

(2) 证明AB=BA

题目解答

答案

$(1)A + 2B = AB$

$AB - A - 2B = 0$

$AB - A - 2B + 2E = 2E$

$(A-2E)(B-E)=2E$

则A - 2E可逆，其逆矩阵为 $\frac{1}{2}(B - E)$

$(2)$ 由（1）得 $(A-2E)(B-E)=2E，$

$则AB-A-2B=0，即AB=A+2B$

$2B=A(B-E)$

$B=\frac{1}{2}A(B-E)$

$BA=B(A+2B)=BA+2B^2$

因为 $2B^2=0$ ，所以 $B^2=0$

$AB-BA=A\frac{1}{2}A(B-E)-\frac{1}{2}A(B-E)A$

$=\frac{1}{2}A(AB-BA)$

因为(A - 2E)可逆，所以A可逆，可得AB - BA = 0，即AB = BA

解析

步骤 1：证明 A−2E 可逆
由题意，A+2B=AB，可以变形为AB-A-2B=0，进一步变形为AB-A-2B+2E=2E，即(A-2E)(B-E)=2E。由于2E是可逆矩阵，所以(A-2E)和(B-E)都是可逆矩阵，因此A-2E可逆。
步骤 2：求出 A−2E 的逆矩阵
由步骤1中的变形，(A-2E)(B-E)=2E，可以得到(A-2E)的逆矩阵为$\dfrac {1}{2}(B-E)$。
步骤 3：证明 AB=BA
由步骤1中的变形，AB-A-2B=0，即AB=A+2B。由步骤2，我们已知A-2E可逆，所以A可逆。将AB=A+2B代入，得到2B=A(B-E)，即B=$\dfrac {1}{2}A(B-E)$。进一步得到BA=B(A+2B)=BA+2B^2。由于2B^2=0，所以B^2=0。因此，AB-BA=A$\dfrac {1}{2}A(B-E)-\dfrac {1}{2}A(B-E)A$=$\dfrac {1}{2}A(AB-BA)$。因为A-2E可逆，所以A可逆，可得AB-BA=0，即AB=BA。