题目

9.根据量子力学,当氢原子中电子的角动量 =sqrt (6)h 时,则其角量子数为 __ 角-|||-动量在外磁场方向上的投影L.的可能取值为 __

题目解答

答案

解析

本题考查量子力学中氢原子原子的角动量和和角动量在外磁场方向上的的投影的相关知识。解题思路是根据角动量的计算公式求出角量子数，再根据角动量在外磁场方向上投影的计算公式求出其可能取值。

  1. 求角量子数的计算：
    • 根据量子力学，氢原子中电子的角动量大小$L$与角量子数$azimuthal quantum number)\(l$的关系为$L = \sqrt{l(l + 1)}\hbar$，其中$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，这里题目中$L_{x}=\sqrt{6}\hbar$（这里推测题目可能表述有误，应该是$\hbar$ ）。
    • 已知$L=\sqrt{l(l + 1)}\hbar}=\sqrt{6}\hbar$，等式两边同时除以$\hbar$可得$\sqrt{l(l + 1)}=\sqrt{6}$。
    • 两边同时平方得到$l(l + 1)=6$，展开式子为$l得到\(l^{2}+l - 6 = 0$。
    • 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b = 1$，$c=-6$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$l=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\times1\times(-6)}}{2\times1}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}$。
    • 解得$l_1=\frac{-1 + 5}{2}=2$，$l_2=\frac{-1 - 5}{2}=-3$。
    • 因为角量子数$l$是量子数，取值为非负整数，所以舍去$l=-3$，得到$l = 2$。
  2. 角动量在外磁场方向上投影的可能取值：
    • 角动量在外磁场方向上的投影$L_{z}$与磁量子数(magnetic quantum number)$m_{l}$的关系为$L_{z}=m_{l}\hbar$。
    • 磁量子数$m_{l}$的取值范围是$-l$，$l - 1$，$\cdots$，$0$，$\cdots$，$-\(l + 1$，$-l$，已知$l = 2$，则$m_{l}$的取值为$2$，$1$，$0$，$-1$，$-2$。
    • 当$m_{l}=2$时，$L_{z}=2\hbar$；当$m_{l}=1$时，$L_{z}=\hbar$；$m_{l}=0$时，$L_{z}=0$；$m_{l}=-1$时，$L_{z}=-\hbar$；$m_{l}=-2$时，$L_{z}=-2\hbar$。