(1)过单叶双曲面 dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(2)-2(z)^2=1 与球面 ^2+(y)^2+(z)^2=4 的交线且与直线-|||- ) x=0 3y+z=0 . 垂直的平面方程为 __ 。

考查要点：本题主要考查空间几何中曲面交线的求解、平面方程的确定，以及直线与平面垂直的条件。

解题核心思路：

1. 确定直线方向向量：通过给定直线的两个平面方程，计算其方向向量。
2. 平面法向量与直线垂直的条件：所求平面的法向量需与直线方向向量平行。
3. 联立曲面方程求交线：通过消元法联立双曲面和球面方程，得到交线的代数条件。
4. 验证平面方程：结合交线条件和法向量条件，确定最终平面方程。

破题关键点：

• 方向向量的计算：利用叉乘求直线方向向量。
• 平面法向量与直线方向向量的关系：平面法向量与直线方向向量平行时，平面与直线垂直。
• 联立方程消元：通过消去变量找到交线的代数表达式。

第（1）题

步骤1：求直线方向向量

给定直线由平面方程 $x=0$ 和 $3y+z=0$ 确定，其方向向量为两平面法向量的叉乘：
$\mathbf{s} = (1,0,0) \times (0,3,1) = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 3 & 1\end{vmatrix} = -\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (0,-1,3)$

步骤2：确定平面法向量

所求平面需与直线垂直，因此平面法向量 $\mathbf{n}$ 应与直线方向向量 $\mathbf{s}$ 平行，即 $\mathbf{n} = (0,1,-3)$。

步骤3：联立曲面方程求交线

联立双曲面 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} - 2z^2 = 1$ 和球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$：

1. 从球面方程得 $x^2 = 4 - y^2 - z^2$，代入双曲面方程：
   $\frac{4 - y^2 - z^2}{4} + \frac{y^2}{2} - 2z^2 = 1$
2. 化简得：
   $y^2 = 9z^2 \quad \Rightarrow \quad y = 3z \ \text{或} \ y = -3z$

步骤4：确定平面方程

交线满足 $y = 3z$ 或 $y = -3z$，对应的平面方程为：

• $y - 3z = 0$（法向量 $(0,1,-3)$）
• $y + 3z = 0$（法向量 $(0,1,3)$）

验证法向量与直线方向向量是否平行：

• $y - 3z = 0$ 的法向量 $(0,1,-3)$ 与 $\mathbf{s} = (0,-1,3)$ 平行，满足条件。
• $y + 3z = 0$ 的法向量 $(0,1,3)$ 与 $\mathbf{s}$ 不平行，舍去。