题目
(2)oint xydx，其中L为圆周(x-a)^2+y^2=a^2 (a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
(2)$\oint xydx$，其中L为圆周$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} (a>0)$及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
题目解答
答案
将圆周参数化为 $x = a + a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。计算 $dx = -a\sin t \, dt$，代入积分得：
\[
\int_{0}^{\pi} (a + a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t) \, dt = -a^3 \int_{0}^{\pi} (1 + \cos t)\sin^2 t \, dt.
\]
拆分并计算：
\[
-a^3 \left( \int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt + \int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t \, dt \right) = -a^3 \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = -\frac{\pi}{2} a^3.
\]
x轴段对积分无贡献，故答案为：
\[
\boxed{-\frac{\pi}{2} a^3}.
\]
解析
步骤 1：参数化圆周
将圆周参数化为 $x = a + a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。这是因为圆周的方程为 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$，参数化时，$x$ 的中心为 $a$，半径为 $a$，$y$ 的半径也为 $a$。
步骤 2：计算 $dx$
计算 $dx = -a\sin t \, dt$，这是因为 $x = a + a\cos t$，对 $t$ 求导得 $dx/dt = -a\sin t$，所以 $dx = -a\sin t \, dt$。
步骤 3：代入积分
代入积分得：\[ \int_{0}^{\pi} (a + a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t) \, dt = -a^3 \int_{0}^{\pi} (1 + \cos t)\sin^2 t \, dt. \]
步骤 4：拆分并计算
拆分并计算：\[ -a^3 \left( \int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt + \int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t \, dt \right) = -a^3 \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = -\frac{\pi}{2} a^3. \]
步骤 5：考虑x轴段
x轴段对积分无贡献，因为 $y=0$，所以 $xy=0$，对积分无影响。
将圆周参数化为 $x = a + a\cos t$，$y = a\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。这是因为圆周的方程为 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$，参数化时，$x$ 的中心为 $a$，半径为 $a$，$y$ 的半径也为 $a$。
步骤 2：计算 $dx$
计算 $dx = -a\sin t \, dt$，这是因为 $x = a + a\cos t$，对 $t$ 求导得 $dx/dt = -a\sin t$，所以 $dx = -a\sin t \, dt$。
步骤 3：代入积分
代入积分得：\[ \int_{0}^{\pi} (a + a\cos t)(a\sin t)(-a\sin t) \, dt = -a^3 \int_{0}^{\pi} (1 + \cos t)\sin^2 t \, dt. \]
步骤 4：拆分并计算
拆分并计算：\[ -a^3 \left( \int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt + \int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t \, dt \right) = -a^3 \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = -\frac{\pi}{2} a^3. \]
步骤 5：考虑x轴段
x轴段对积分无贡献，因为 $y=0$，所以 $xy=0$，对积分无影响。